干货 | 10分钟搞懂branch and bound算法的代码实现附带java代码

OUTLINE

前言

Example-1

Example-2

运行说明

前言

00

前面一篇文章我们讲了branch and bound算法的相关概念。可能大家对精确算法实现的印象大概只有一个,调用求解器进行求解,当然这只是一部分。

其实精确算法也好,启发式算法也好,都是独立的算法,可以不依赖求解器进行代码实现的,只要过程符合算法框架即可。

只不过平常看到的大部分是精确算法在各种整数规划模型上的应用,为此难免脱离不了cplex等求解器。这里简单提一下。

今天给大家带来的依然是branch and bound算法在整数规划中的应用的代码实现,所以还是会用到部分求解器的。

注:本文代码下载请移步留言区。

Example-1

01

首先来看第一个代码实例,该代码求解的是整数优化的模型,关于branch and bound求解整数规划的具体原理就不再概述了,和上一篇文章差不多但是有所区别。代码文件层次如下:

其中branch and bound算法主要部分在BnB_Guide.java这个文件。

ExampleProblem.java内置了三个整数规划模型的实例。

调用的是scpsolver这个求解器的wrapper,实际调用的还是lpsolver这个求解器用以求解线性松弛模型。下面着重讲讲BnB_Guide.java这个文件。

public BnB_Guide(int demoProblem){ example = new ExampleProblem(demoProblem); LinearProgram lp = new LinearProgram(); lp = example.getProblem().getLP(); solver = SolverFactory.newDefault(); double[] solution = solver.solve(lp); // Solution of the initial relaxation problem int maxElement = getMax(solution); // Index of the maximum non-integer decision variable's value if(maxElement == -1 ) // We only got integers as values, hence we have an optimal solution verifyOptimalSolution(solution,lp); else this.solveChildProblems(lp, solution, maxElement); // create 2 child problems and solve them printSolution(); }

该过程是算法主调用过程:

1. 首先变量lp保存了整数规划的松弛问题。

2. 在调用求解器求解松弛模型以后,判断是否所有决策变量都是整数了,如果是,已经找到最优解。

3. 如果不是,根据找出最大的非整数的决策变量,对该变量进行分支,solveChildProblems。

接着是分支子问题的求解过程solveChildProblems如下:

    public void solveChildProblems(LinearProgram lp, double[] solution ,int maxElement){
        searchDepth++;                LinearProgram lp1 = new LinearProgram(lp);        LinearProgram lp2 = new LinearProgram(lp);                String constr_name = "c" + (lp.getConstraints().size() + 1); // Name of the new constraint         double[] constr_val = new double[lp.getDimension()]; // The variables' values of the new constraint                 for(int i=0;i<constr_val.length;i++){ // Populate the table            if(i == maxElement )                constr_val[i] = 1.0;            else                constr_val[i] = 0;        }           //Create 2 child problems: 1. x >= ceil(value), 2. x <= floor(value)        lp1.addConstraint(new LinearBiggerThanEqualsConstraint(constr_val, Math.ceil(solution[maxElement]), constr_name));        lp2.addConstraint(new LinearSmallerThanEqualsConstraint(constr_val, Math.floor(solution[maxElement]), constr_name));        solveProblem(lp1);        solveProblem(lp2);    }

具体的分支过程如下:

1. 首先新建两个线性的子问题。

2. 两个子问题分别添加需要分支的决策变量新约束:1. x >= ceil(value), 2. x <= floor(value)。

3. 一切准备就绪以后,调用solveProblem求解两个子问题。

而solveProblem的实现代码如下:

    private void solveProblem(LinearProgram lp) {                double[] sol = solver.solve(lp);                LPSolution lpsol = new LPSolution(sol, lp);        double objVal = lpsol.getObjectiveValue();                if(lp.isMinProblem()) {            if(objVal > MinimizeProblemOptimalSolution) {                System.out.println("cut >>> objVal = "+ objVal);                return;            }        }        else {            if(objVal < MaximizeProblemOptimalSolution) {                System.out.println("cut >>> objVal = "+ objVal);                return;            }                    }                System.out.println("non cut >>> objVal = "+ objVal);                int maxElement = this.getMax(sol);        if(maxElement == -1 && lp.isFeasable(sol)){ //We found a solution            solutionFound = true;            verifyOptimalSolution(sol,lp);        }        else if(lp.isFeasable(sol) && !solutionFound) //Search for a solution in the child problems            this.solveChildProblems(lp, sol, maxElement);            }

该过程如下:

1. 首先调用求解器求解传入的线性模型。

2. 然后实行定界剪支,如果子问题的objVal比当前最优解还要差,则剪掉。

3. 如果不剪,则判断是否所有决策变量都是整数以及解是否可行,如果是,找到新的解,更新当前最优解。

4. 如果不是,根据找出最大的非整数的决策变量,对该变量再次进行分支,进入solveChildProblems。

从上面的逻辑过程可以看出,solveChildProblems和solveProblem两个之间相互调用,其实这是一种递归。

该实现方式进行的就是BFS广度优先搜索的方式遍历搜索树。

Example-2

02

再来看看第二个实例:

input是模型的输入,输入的是一个整数规划的模型。由于输入和建模过程有点繁琐,这里就不多讲了。挑一些重点讲讲具体是分支定界算法是怎么运行的就行。

首先该代码用了stack的作为数据结构,遍历搜索树的方式是DFS即深度优先搜索。

我们来看BNBSearch.java这个文件:

public class BNBSearch {        Deque<searchNode> searchStack = new ArrayDeque<searchNode>();    double bestVal = Double.MAX_VALUE;    searchNode currentBest = new searchNode();    IPInstance solveRel = new IPInstance();     Deque<searchNode> visited = new ArrayDeque<searchNode>();        public BNBSearch(IPInstance solveRel) {        this.solveRel = solveRel;        searchNode rootNode = new searchNode();        this.searchStack.push(rootNode);    };

BNBSearch 这个类是branch and bound算法的主要过程,成员变量如下:

  • searchStack :构造和遍历生成树用的,栈结构。
  • bestVal:记录当前最优解的值,由于求的最小化问题,一开始设置为正无穷。
  • currentBest :记录当前最优解。
  • solveRel :整数规划模型。
  • visited :记录此前走过的分支,避免重复。

然后在这里展开讲一下searchNode就是构成搜索树的节点是怎么定义的:

public class searchNode {      HashMap<Integer, Integer> partialAssigned = new HashMap<Integer, Integer>();            public searchNode() {          super();      }      public searchNode(searchNode makeCopy) {          for (int test: makeCopy.partialAssigned.keySet()) {                this.partialAssigned.put(test, makeCopy.partialAssigned.get(test));            }          }
}

其实非常简单,partialAssigned 保存的是部分解的结构,就是一个HashMap,key保存的是决策变量,而value对应的是决策变量分支的取值(0-1)。举上节课讲过的例子:

比如:

节点1的partialAssigned == { {x3, 1} }。

节点2的partialAssigned == { {x3, 0} }。

节点3的partialAssigned == { {x3, 1}, {x2, 1} }。

节点4的partialAssigned == { {x3, 1}, {x2, 0} }。

节点7的partialAssigned == { {x3, 0}, {x1, 1}, {x2, 1}}。 ……

想必各位已经明白得不能再明白了。

然后就可以开始BB过程了:

    public int solveIP() throws IloException {        while (!this.searchStack.isEmpty()) {            searchNode branchNode = this.searchStack.pop();            boolean isVisited = false;            for (searchNode tempNode: this.visited) {                if (branchNode.partialAssigned.equals(tempNode.partialAssigned)){                    isVisited = true;                    break;                }            }                        if (!isVisited) {                visited.add(new searchNode(branchNode));                double bound = solveRel.solve(branchNode);                if (bound > bestVal || bound == 0) {                    //System.out.println(searchStack.size());                }                if (bound < bestVal && bound!=0) {                    if (branchNode.partialAssigned.size() == solveRel.numTests) {                        //分支到达低端,找到一个满足整数约束的可行解,设置为当前最优解。                        //System.out.println("YAY");                        this.bestVal = bound;                         this.currentBest = branchNode;                    }                }                if (bound < bestVal && bound!=0) {                    //如果还没到达低端,找一个变量进行分支。                    if (branchNode.partialAssigned.size() != solveRel.numTests) {                        int varToSplit = getSplitVariable(branchNode);                        if (varToSplit != -1) {                            searchNode left = new searchNode(branchNode);                            searchNode right = new searchNode(branchNode);                            left.partialAssigned.put(varToSplit, 0);                            right.partialAssigned.put(varToSplit, 1);                            this.searchStack.push(left);                            this.searchStack.push(right);                        }                                            }                }            }        }        return (int) bestVal;    }

首先从搜索栈里面取出一个节点,判断节点代表的分支是否此前已经走过了,重复的工作就不要做了嘛。

如果没有走过,那么在该节点处进行定界操作,从该节点进入,根据partialAssigned 保存的部分解结构,添加约束,建立松弛模型,调用cplex求解。具体求解过程如下:

  public double solve(searchNode node) throws IloException {            try {          cplex = new IloCplex();          cplex.setOut(null);                    IloNumVarType [] switcher = new IloNumVarType[2];          switcher[0] = IloNumVarType.Int;          switcher[1] = IloNumVarType.Float;          int flag = 1;                    IloNumVar[] testUsed = cplex.numVarArray(numTests, 0, 1, switcher[flag]);                    IloNumExpr objectiveFunction = cplex.numExpr();             objectiveFunction = cplex.scalProd(testUsed, costOfTest);                    cplex.addMinimize(objectiveFunction);
          for (int j = 0; j < numDiseases*numDiseases; j++) {              if (j % numDiseases == j /numDiseases) {                  continue;              }                            IloNumExpr diffConstraint = cplex.numExpr();                            for (int i =  0; i < numTests; i++) {                  if (A[i][j/numDiseases] == A[i][j%numDiseases]) {                      continue;                  }                  diffConstraint = cplex.sum(diffConstraint, testUsed[i]);               }                            cplex.addGe(diffConstraint, 1);              diffConstraint = cplex.numExpr();
          }                    for (int test: node.partialAssigned.keySet()) {              cplex.addEq(testUsed[test], node.partialAssigned.get(test));          }                              //System.out.println(cplex.getModel());                    if(cplex.solve()) {                double objectiveValue = (cplex.getObjValue());                                 for (int i = 0; i < numTests; i ++) {                    if (cplex.getValue(testUsed[i]) == 0) {                        node.partialAssigned.put(i, 0);                    }                    else if (cplex.getValue(testUsed[i]) == 1) {                        node.partialAssigned.put(i, 1);                    }                }                //System.out.println("LOL"+node.partialAssigned.size());                               return objectiveValue;          }
                }      catch(IloException e) {          System.out.println("Error " + e);      }      return 0;  }

中间一大堆建模过程就不多讲了,具体分支约束是这一句:

          for (int test: node.partialAssigned.keySet()) {              cplex.addEq(testUsed[test], node.partialAssigned.get(test));          }

此后,求解完毕后,把得到整数解的决策变量放进partialAssigned,不是整数后续操作。然后返回目标值。

然后依旧回到solveIP里面,在进行求解以后,得到目标值,接下来就是定界操作了:

if (bound > bestVal || bound == 0):剪支。

if (bound < bestVal && bound!=0):判断是否所有决策变量都为整数,如果是,找到一个可行解,更新当前最优解。如果不是,找一个小数的决策变量入栈,等待后续分支。

运行说明

03

Example-1:

运行说明,运行输入参数1到3中的数字表示各个不同的模型,需要在32位JDK环境下才能运行,不然会报nullPointer的错误,这是那份求解器wrapper的锅。怎么设置参数参考cplexTSP那篇,怎么设置JDK环境就不多说了。

然后需要把代码文件夹下的几个jar包给添加进去,再把lpsolve的dll给放到native library里面,具体做法还是参照cplexTSP那篇,重复的内容我就不多说了。

Example-2:

最后是运行说明:该实例运行调用了cplex求解器,所以需要配置cplex环境才能运行,具体怎么配置看之前的教程。JDK环境要求64位,无参数输入。

代码来源GitHub,经过部分修改。

END

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原文发布于微信公众号 - 程序猿声(ProgramDream)

原文发表时间:2019-07-23

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