漫画：如何找到两个数组的中位数？

————— 第二天 —————

什么意思呢？让我们来看两个例子：

上图这两个给定数组A和B，一个长度是6，一个长度是5，归并之后的大数组仍然要保持升序，结果如下：

大数组的长度是奇数（11），中位数显然是位于正中的第6个元素，也就是元素5。

上面的例子是奇数个元素的情况。那么偶数的元素是什么样呢？让我们来看另一个例子：

上图这两个给定数组A和B，长度都是5，归并之后的大数组如下：

大数组的长度是偶数（10），位于正中的元素有两个，分别是6和7，这时候的中位数就是两个数的平均值，也就是6.5。

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或许这听起来有点绕，我们仍然用刚才的例子来说明：

如上图所示，对于偶数长度的数组，可以根据中位数分成长度相等的两部分，左半部分最大元素（6），永远小于等于右半部分的最小元素（7）。

对于奇数长度的数组，同样可以根据中位数分成两部分：

如上图所示，对于奇数长度的数组，如果把中位数本身归入左半部分，则左半边长度 = 右半边长度+1。

左半部分最大元素（5），永远小于等于右半部分的最小元素（6）。

什么意思呢？大数组被中位数等分的左右两部分，每一部分根据来源又可以再划分成两部分，其中一部分来自数组A的元素，另一部分来自数组B的元素：

如图所示，原始数组A和B，各自分成绿色和橙色两部分。其中数值较小的绿色元素组成了大数组的左半部分，数值较大的橙色元素组成了大数组的右半部分。

最重要的是，绿色元素和橙色元素的数量是相等的（偶数情况），而且最大的绿色元素小于最小的橙色元素。

假设数组A的长度是m，绿色和橙色元素的分界点是i，数组B的长度是n，绿色和橙色元素的分界点是j，那么为了让大数组的左右两部分长度相等，则i和j需要符合如下两个条件：

i + j = （m+n+1）/2

（之所以m+n后面要再加1，是为了应对大数组长度为奇数的情况）

Max(A[i-1],B[j-1]) < Min(A[i], B[j])

(直白的说，就是最大的绿色元素小于最小的橙色元素)

由于m+n的值是恒定的，所以我们只要确定一个合适的i，就可以确定j，从而找到大数组左半部分和右半部分的分界，也就找到了归并之后大数组的中位数。

如何利用二分查找来确定i值呢？通过具体事例，让我们来演示一下：

第一步，就像二分查找那样，把i设在数组A的正中位置，也就是让i=3

第二步，根据i的值来确定j的值，j=(m+n+1)/2 - i =3

第三步，验证i和j，分为下面三种情况：

1.B[j−1]≤A[i] && A[i−1]≤B[j]

说明i和j左侧的元素都小于右侧，这一组i和j是我们想要的。

2.A[i]<B[j−1]

说明i对应的元素偏小了，i应该向右侧移动。

3.A[i−1]>B[j]

说明i-1对应的元素偏大了，i应该向左侧移动。

显然，对于图中例子，属于情况2，A[3] < B[1]，所以i应该向右移动。

第四步，在数组A的右半部分，重新确定i的位置，就像二分查找一样

第五步，同第二步，根据i的值来确定j的值，j=(m+n+1)/2 - i =1

第六步，同第三步，验证i和j

由于A[5] >= B[0]且B[1]>=A[4]，所以这一组i和j是合适的！

第七步，找出中位数

如果大数组长度是奇数，那么：

中位数 = Max(A[i-1],B[j-1])

(也就是大数组左半部分的最大值)

如果大数组长度是偶数，那么：

中位数 = （Max(A[i-1],B[j-1]) + Min（A[i], B[i]））/2

（也就是大数组左半部分的最大值和大数组右半部分的最小值取平均）

在本例中，大数组长度是奇数，所以中位数=Max(8,1) = 8

1.数组A的长度远大于数组B

也就是m远大于n，这时候会出现什么问题呢？

当我们设定了i的初值，也就是数组A正中间的元素，再计算j的时候有可能发生数组越界。

因此，我们可以提前把数组A和B进行交换，较短的数组放在前面，i从较短的数组中取。

这样做还有一个好处，由于数组A是较短数组，i的搜索次数减少了。

2.数组A的所有元素都小于数组B，或数组A的所有元素都大于数组B

这种情况下，最终确定的i值等于0，或最终确定的i值等于0。

如果按照Max(A[i-1],B[j-1])的公式来求中位数，就会出现下标为负数的情况。

此时求中位数的公式就简化为A[i-1]或B[i-1]（假设大数组长度为奇数）

public static double findMedianSortedArrays(int[] arrayA, int[] arrayB) {
    int m = arrayA.length;
    int n = arrayB.length;
    //如果数组A的长度大于等于数组B，则交换数组
    if (m > n) {
        int[] temp = arrayA;
        arrayA = arrayB;
        arrayB = temp;
        int tmp = m;
        m = n;
        n = tmp;
    }
    int start = 0;
    int end = m;
    int mid = (m + n + 1) / 2;
    while (start <= end) {
        int i = (start + end) / 2;
        int j = mid - i;
        if (i < end && arrayB[j-1] > arrayA[i]){
            //i偏小了，需要右移
            start = i + 1;
        }
        else if (i > start && arrayA[i-1] > arrayB[j]) {
            //i偏大了，需要左移
            end = i - 1;
        }
        else {
            //i刚好合适
            int maxLeft;
            if (i == 0) {
                //数组A的元素都大于数组B的情况
                maxLeft = arrayB[j-1];
            } else if (j == 0) {
                //数组A的元素都小于数组B的情况
                maxLeft = arrayA[i-1];
            } else {
                maxLeft = Math.max(arrayA[i-1], arrayB[j-1]);
            }
            if ( (m + n) % 2 == 1 ) {
                //如果大数组的长度是奇数，中位数就是左半部分的最大值
                return maxLeft;
            }
            int minRight;
            if (i == m) {
                minRight = arrayB[j];
            } else if (j == n) {
                minRight = arrayA[i];
            } else {
                minRight = Math.min(arrayB[j], arrayA[i]);
            }
            //如果大数组的长度是偶数，取左侧最大值和右侧最小值的平均
            return (maxLeft + minRight) / 2.0;
        }
    }
    return 0.0;
}

public static void main(String[] args) {
    int[] arrayA = new int[]{3,5,6,7,8,12,20};
    int[] arrayB = new int[]{1,10,17,18};
    System.out.println(findMedianSortedArrays(arrayA, arrayB));
}