计算机如何进行加减乘除计算—算术逻辑单元（一）

ALU

上节，我们谈了如何用二进制表示数字，比如二进制 00101010 是十进制的 42，表示和存储数字是计算机的重要功能，但真正的目标是计算，有意义的处理数字。比如把两个数字相加，这些操作由计算机的 "算术逻辑单元 "处理。但大家会简称：ALU。

ALU 是计算机的数学大脑，等你理解了 ALU 的设计和功能之后，你就理解了现代计算机的基石。ALU 就是 计算机里负责运算的组件基本其他所有部件都用到了它。

先来看看这个美人，这可能是最著名的 ALU，英特尔 74181，1970 年发布时，它是第一个封装在单个芯片内的完整 ALU，这在当时是惊人的工程壮举。

今天我们用上周学的布尔逻辑门，做一个简单的 ALU 电路，功能和 74181 一样，然后接下来几周，用它从头做出一台电脑，所以会有点复杂，但我觉得你们搞的定。

ALU 有 2 个单元，1 个算术单元和 1 个逻辑单元，我们先讲"算术单元"，它负责计算机里的所有数字操作，比如加减法它还做很多其他事情，比如给某个数字+1，这叫增量运算，我们之后会说。

今天的重点是一切的根本 - "把两个数字相加"，我们可以用单个晶体管一个个拼，把这个电路做出来，但很快就会复杂的难以理解。所以与其用晶体管，我们会像第 3 节，用更高层的抽象，用逻辑门来做，我们会用到 AND，OR，NOT 和 XOR 逻辑门，最简单的加法电路， 是拿 2 个 bit 加在一起（bit 是 0 或 1），有 2 个输入：A 和 B， 1 个输出：就是两个数字的和，需要注意的是：A, B, 输出，这3个都是单个 Bit （ 0 或 1 ）。

输入只有四种可能，前三是 0 + 0 = 0 ； 1 + 0 = 1 ； 0 + 1 = 1。记住二进制里，1 与 true 相同，0 与 false 相同。这组输入和输出，和 XOR 门的逻辑完全一样，所以我们可以把 XOR 用作 1 位加法器（adder）。但第四个输入组合，1+1，是个特例 1+1=2（显然），但二进制里没有 2。上节说过，二进制 1+1 的结果是0，1进到下一位和是 10 (二进制)。XOR 门的输出，只对了一部分， 1+1 输出 0，但我们需要一根额外的线代表 "进位"，只有输入是 1 和 1 时，进位才是 "true"。因为算出来的结果用 1 个 bit 存不下，方便的是，我们刚好有个逻辑门能做这个事！没那么复杂 ， 就两个逻辑门而已让我们抽象化。把 "半加器" 封装成一个单独组件，两个输入 A 和 B 都是 1 位， 两个输出 "总和" 与 "进位"。这进入了另一层抽象，我好像说了很多次，说不定会变成一个梗。

全加器

如果想处理超过 1+1 的运算，我们需要"全加器"，半加器输出了进位，意味着，我们算下一列的时候，还有之后的每一列，我们得加 3 个位在一起，并不是 2 个。全加器复杂了一点点，全加器表格，有 3 个输入：A, B, C （都是 1 个 bit)，所以最大的可能是 1 + 1 + 1，"总和"1 "进位"1 ， 所以要两条输出线： "总和"和"进位"，我们可以用半加器做全加器。我们先用半加器将 A 和 B 相加，然后把 C 输入到第二个半加器，最后用一个 OR 门检查进位是不是 true，这样就做出了一个全加器！

我们可以再提升一层抽象，把全加器作为独立组件，全加器会把 A，B，C 三个输入加起来输出 "总和" 和 "进位"。现在有了新组件，我们可以相加两个 8 位数字，叫两个数字叫 A 和 B 好了。我们从 A 和 B 的第一位开始，叫 A0 和 B0 好了。现在不用处理任何进位，因为是第一次加法，所以我们可以用半加器，来加这2个数字，输出叫 sum0。现在加 A1 和 B1，因为 A0 和 B0 的结果有可能进位，所以这次要用全加器，除了 A1 和 B1，还要连上进位，输出叫 sum1。然后，把这个全加器的进位，连到下个全加器的输入，处理 A2 和 B2。以此类推，把 8 个 bit 都搞定。注意每个进位是怎么连到下一个全加器的，所以叫 "8位行波进位加法器"。

溢出

注意最后一个全加器有 "进位" 的输出，如果第 9 位有进位，代表着 2 个数字的和太大了，超过了 8 位，这叫 "溢出" (overflow)，一般来说 "溢出" 的意思是, 两个数字的和太大了，超过了用来表示的位数，这会导致错误和不可预期的结果。著名的例子是，吃豆人用 8 位存当前关卡数，如果你玩到了第 256 关（ 8 位 bit 最大表示 255），ALU 会溢出，造成一连串错误和乱码，使得该关卡无法进行，这个 bug 成了厉害吃豆人玩家的代表。

如果想避免溢出，我们可以加更多全加器，可以操作 16 或 32 位数字，让溢出更难发生，但代价是更多逻辑门。另外一个缺点是，每次进位都要一点时间，当然时间不久，因为电子移动的很快。但如今的量级是每秒几十亿次运算，所以会造成影响，叫 "超前进位加法器"。它更快，做的事情是一样的 - 把二进制数相加，ALU 的算术单元，也能做一些其他数学运算，一般支持这 8 个操作。

就像加法器一样，这些操作也是由逻辑门构成的，有趣的是，你可能注意到没有乘法和除法，因为简单的 ALU 没有专门的电路来处理，而是把乘法用多次加法来实现。假设想算 12x5，这和把 "12" 加 5 次是一样的，所以要 5 次 ALU 操作来实现这个乘法，很多简单处理器都是这样做的。比如恒温器，电视遥控器和微波炉，慢是慢，但是搞的定。然而笔记本和手机有更好的处理器，有专门做乘法的算术单元，你可能猜到了，乘法电路比加法复杂，没什么魔法，只是更多逻辑门。所以便宜的处理器没有。