在编程中发现数学之美——使用Python小龟绘制多边形

在使用数学知识画出很酷的各种图形之前，你需要先学习Python编程语言的基础知识。本文将会带你熟悉以下编程概念：循环、变量、函数、使用小龟模块绘制图像。本文假设你已经安装了Python，如果没有，欢迎你访问我的在线编程学习网站www.icoding.pub，你可以在编程入门—使用python语言开发游戏课程中下载Python并学习安装过程和Python基础操作。本文是在Python编程中发现数学之美的第一章内容，其余内容会陆续发布在www.icoding.pub，欢迎关注。

小龟模块

Python的小龟模块来源于Logo语言。Logo语言发明于1960年代，目的是使所有人都能够学习编程。Logo语言有可供人机交互的图形界面。Python的设计者对Logo语言的小龟模块如此喜欢，以至于他们也在Python中设计了小龟模块。

在Python的小龟模块中，你可以控制类似小龟的图像，像在游戏中控制一个角色。你需要给小龟清晰明确的指令，指导小龟在屏幕上的动作。因为小龟的运动会留下轨迹，我们可以通过控制小龟运动画出各种图形。

导入小龟模块

打开IDLE，新建文件，保存为myturtle.py。使用小龟模块，你需要首先引入它的函数。在Python中，函数是指完成某一功能的可重复使用的一段代码。Python中有许多内置函数，当然你也可以创建自己的函数，我们称之为自定义函数。本章中你就将写自己的自定义函数。

模块在Python中指一个文件，这个文件中含有预定义的函数和定义，这些函数和定义你可以在其他程序中使用。小龟模块在你安装Python的时候已经自动安装了。

Python中引入模块的方法有许多，我们使用简单的一种，在myturtle.py中，输入以下语句：

from turtle import *

from表示我们将从外部的文件中导入某些内容。我们在from后输入要导入的模块，这里是turtle。我们用import获取欲导入的内容，这里的通配符*表示我们将turtle的内容全部引入到当前的程序。

移动小龟

现在你已经引入了小龟模块，你可以输入指令输入指令移动小龟了。我们将使用foreward()函数（缩写为fd）来命令小龟移动一段距离并在后面留下轨迹。注意，forward()是我们从turtle小龟模块中引入函数中的其中一个。使小龟移动：

foreward(100)

这里，括号中的100表示小龟移动的步数。在编程语言中，100是传递给foreward函数的参数。当然，你也可以将100改成其它任何值。保存，运行程序，一个新窗口会打开，窗口中心有一个箭头。

正如你所见，小龟起点为窗口正中，向右移动了100步（100个像素）。注意，默认的形状是一个箭头，不是乌龟。输入以下指令变为乌龟的形状：

from turtle import *
forward(100)
shape('turtle')

或许你已经猜到了，shape()是小龟模块中定义的另一个函数。这个函数让你可以定义默认的箭头为其他形状，如圆、方块。这里，shape()函数的参数是字符串'turtle'，不是数字。保存并运行，你会看到箭头的形状已经变成了小龟。

改变方向

小龟只能在它的方向上向前走。改变方向，你首先必须使用right()或left()函数让小龟转一定的角度。修改程序如下：

from turtle import *
forward(100)
shape('turtle')
right(45)
forward(150)

你会发现，小龟从窗口中心开始，向前走100步，右转45度，然后向前走了150步。

练习1-1：修改代码，使小龟的轨迹画一个正方形。

循环执行代码

每一种编程语言都有自动重复执行一定次数的方法。这个功能很重要，因为重复执行避免了你一遍又一遍输入相同内容代码的麻烦。它还可以帮你避免输入错误，从而保证程序正常运行。

for循环

Python语言中使用for执行循环代码。我们用range指明循环次数。打开IDLE，新建文件for_loop.py，输入：

for i in range(2):
    print('hello')

这里，range()函数为每一个循环i创建了一个迭代器。迭代器每次使用会依顺序产生新值。括号中的2是传递给range()函数的参数，与前面传递给forward()和right()参数类似。

这个例子中，range(2)创建了一个包括两个值：0和1的序列。对两个值中的每一个，for分别执行冒号之后的代码，在这儿是执行打印hello。

记住，在所有需要循环执行的代码（冒号之后的）前按TAB键（或4个空格），以使这些代码有相同的缩进。缩进告诉Python哪些代码行在循环内容需要for循环执行。别忘了for语句最后的冒号，它告诉Python下面的代码是需要循环执行的。保存、运行以上代码，你会看到输出两行hello。

打印两行hello是因为range(2)创建了包含两个数字0和1的序列。这表示for指令逐个访问序列中的0和1,每次访问打印hello。我们可以对代码做如下修改：

for i in range(10):
    print(i)

保存并运行，结果是打印了从0到9的10个数字。

你注意到了吗？range()函数的序列是从0开始，到参数的前一个数字结束（这里是9）。上面的代码的作用可简述为“对从0到9范围中的每一个值，打印当前的数字。”for循环重复执行代码，直到超出数字范围。下面我们在小龟程序中使用for循环。

使用for循环画正方形

上面的练习1-1中，你面临的挑战是使用forward()和right()画正方形。完成这个任务，你不得不重复forward(100)和right(90)四次。这不但需要输入许多代码，而且输入过程中还往往出错。

现在我们有了for循环，就可以省去重复输入相同代码的麻烦了。下面的myturtle.py程序，使用for代替了重复的forward()和right()语句：

from turtle import *
shape('turtle')
for i in range(4):
    forward(100)
    right(90)

注意，shape('turtle')语句应该在import语句后面其他绘画代码的前面。for循环内部的两行代码告诉小龟，向前100步然后右转90度（想想对小龟来说哪边是左哪边是右）。由于正方形有四条边，我们使用range(4)让代码循环四次，运行代码的结果会如下面的图片：

1_squares.gif

小龟向前100步然后右转，重复了四次，最终回到原来出发的点。恭喜你，你使用for循环画出了正方形。

创建自定义函数

我们写了画正方形的代码，我们可以使用个小魔术将代码保存起来，以后需要画正方形的时候随时调用。每种变成语言都有实现这个功能的方法，在Python里它被成为函数,函数在编程中非常重要。函数使代码精巧并易于维护修改，将复杂问题化解为若干函数的过程中，也有助于你找到解决问题的最佳方法。在前面的代码中你已经使用过Python语言内置的函数，现在我们将学习怎么创建我们自己的函数。

定义函数你需要为它取个名字，可以取任何名字，记住不要与Python语言的关键字相同，如list,range,等等。为函数命名的时候，最后取个有意义的名字，这样你调用的时候能够方便的想起来。这里我们为我们画正方向的函数命名为square()，因为我们这个函数的作用是画正方形，修改刚才的程序mytutle.py，增加下面内容：

def square():
    for i in range(4):
        forward(100)
        right(90)

def关键字告诉Python我们正定义一个函数，后面的将会是函数名字，这儿是square()。别忘了square后面的两个括号！Python中它们的出现表示现在要处理的是函数。后面我们将在括号中放数值，但即使没有任何数值，括号也必须要有以让Python知道这是个函数。另外，不要忘记函数定义语句末尾的冒号。注意，函数内容部分的代码都有向右4个空格的缩进，这是告诉Python哪些代码是函数内部的语句。

如果现在运行，什么也不会出现。你定义了函数，但还没有运行它。要运行函数你需要调用它，对代码继续修改，修改后的代码如下：

from turtle import *
shape('turtle')
def square():
    for i in range(4):
        forward(100)
        right(90)
square()

保存，运行。程序的最后一行，通过square()调用了函数。现在你可以在程序任何位置调用square()函数来方便地绘制四方形了。

你还可以将这个函数放在循环中，来绘出更复杂的图形。例如，画一个正方形，右转一定角度，画另一个正方形，继续右转...这样循环若干次。

下面的练习将绘制一个由正方形组成的有趣的图形。要画出这个图形，需要你的小龟忙活一会儿，所以你可以通过调用speed()函数控制小龟的速度。在shape('turtule')语句后面插入一行speed(0)，使小龟移动的速度达到最快（speed(1)使小龟速度最慢）。当然你可以调整speed()的参数。

练习1-2：正方形组成的圆。写程序，这个程序将画60个正方形，每画一个正方形后右转5度。程序中要使用循环语句。运行结果如图：

circle of squares

使用变量绘制图形

现在为止我们的正方形大小都相同。想要不同大小的正方形，要改变小龟前进的距离。要通过每次修改函数获得不同的距离，那太麻烦了。我们用变量来解决这个问题，变量在Python中表示可以改变的值。变量与数学函数表达式中的x相似。

数学中的变量名字是一个字母，编程中你可以给变量取任何名字。类似与函数，我建议你的变量名称应该是有意义的，便于记忆和理解。

函数中使用变量

定义函数的时候，可以将变量作为传递给函数的参数。例如，可以修改square()的定义，来画不同尺寸的正方形，对myturtle.py修改如下：

def square(sidelength):
    for i in range(4):
        forward(sidelength)
        right(90)

这里我们在函数定义中增加了sidelength。现在你调用这个函数的时候，要在括号间传递一个值给函数，这个值我们称之为参数。传递的任何值都将作为sidelength的数值。例如，调用square(50)和square(80)将分别绘制边长为50和80的正方形。

变量错误

调用函数的时候，如果函数定义中有参数，而调用时未指明参数，Python会报错。如调用上面的函数square()，IDLE中会出现以下错误提示：

TypeError: square() missing 1 required positional argument: 'sidelength'

这个错误提示我们缺少了一个需要的参数（这儿是sidelength）。怎样避免出现这种错误呢？我们可以在定义函数时给参数赋一个默认值，例如这样：

def square(sidelength=100):

这里，我们给sidelength赋值100。现在我们调用square时如果填写了参数，会绘制边长为我们填写数值的正方形，如果我们没有填写，也不会报错，会绘制边长为100的正方形。我们可以这样调用函数：

square(30)
square(50)
squre()

运行结果会是这样：

1_func_params.gif

给函数参数设置缺省值，我们可以不同担心调用时忘记填写参数了。在编程中，我们称之为让程序变得健壮。

练习1-3：绘制三角形。写triangle()函数，函数功能为绘制给定变长的三角形。

等边三角形

多边形是有多个边的图形。等边三角形是多边形的一种，有三条边且变长相等。

triangle

等边三角形有3个都为60度的内角，你的数学老师肯定告诉过你，三角形内角和为180度。

写绘制三角形的函数

现在，让我们用目前学到的知识画出一个等边三角形。因为每个内角都是60度，我们可以将right()参数修改为60度，像下面这样修改myturtle.py：

def triangle(sidelength=100):
    for i in range(3):
        forward(sidelength)
        right(60)
triangle()

保存，运行。你看到了什么？

triangle

我们没看到三角形，看起来画的好像是六边形的一半。想想为什么？如果你是图上的小龟，站在它的位置，向右转60度，循环3次……是不是也会走出上图的路径。你应该想到了，向右转，不应该转60度，而应该转180-60=120度。

练习1-4：写绘制多边形的函数。函数名字为polygon，参数为一个整数，函数功能是绘制多边形，边的条数为参数值。

改变变量的值

我们可以这样改变变量的值：在每一个循环中让变量的值递增，结果是每次循环所画的正方形比上一次大一些。例如我们使用length变量，我们用这个变量的值作为变长画正方形，下一个循环中为length增加5：

length = length + 5

这是一个赋值语句，length变量被赋予length原来的值加上5。打开IDLE，输入以下语句：

>>> radius = 10

上面我们创建了一个变量，其名字是radius，其值为10。任何时候你都可以重新给这个变量赋一个新值：

>>> radius = 20

现在，变量radius中的值为20了。

练习1-5：创建一个函数，函数的功能为画60个正方形，每画一个正方形后旋转5度，且边长增加。初始边长为5,每次增加5。结果应该如图所示：

总结

本文我们学习了使用Python的小龟模块turtle和它的内置函数forward()及right()。我们探索了使用这个两个函数绘制复杂有趣的图形。turtle是Python其中一个包，你可以访问Python的官方网站https://python.org/，上面有turtle更全面的介绍。

本文我们还学校了如何定义自己的函数，自定义函数可以让我们实现代码复用。我们还学习了for循环。

练习1-6：星星的诞生。首先你要写一个名为star的函数，函数功能是绘制一个五角星，如图：

star ，接下来，你需要写另一个starSpiral()函数，函数的作用是绘制旋转的五角星，结果如下图：

stars spiral