寻找两个有序数组的中位数
题目地址
https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/
题目描述
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
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首先了解一下Median的概念，一个数组中median就是把数组分成左右等分的中位数。
如下图：
这道题，很容易想到暴力解法，时间复杂度和空间复杂度都是 O(m+n), 不符合题中给出 O(log(m+n))时间复杂度的要求。我们可以从简单的解法入手，试了一下，暴力解法也是可以被Leetcode Accept的. 分析中会给出两种解法，暴力求解和二分解法。
解法一 - 暴力 （Brute Force）
暴力解主要是要merge两个排序的数组 （A，B）成一个排序的数组。
用两个 pointer（i，j）， i 从数组 A起始位置开始，即 i=0开始， j 从数组 B起始位置， 即 j=0开始. 一一比较 A[i]和B[j],
- 如果
A[i]<=B[j], 则把A[i]放入新的数组中，i往后移一位，即i+1. - 如果
A[i]>B[j], 则把B[j]放入新的数组中，j往后移一位，即j+1. - 重复步骤#1 和 #2，直到
i移到A最后，或者j移到B最后。 - 如果
j移动到B数组最后，那么直接把剩下的所有A依次放入新的数组中. - 如果
i移动到A数组最后，那么直接把剩下的所有B依次放入新的数组中.
Merge的过程如下图。
时间复杂度：O(m+n)-mislength of A,nislength of B
空间复杂度：O(m+n)
解法二 - 二分查找 （Binary Search）
由于题中给出的数组都是排好序的，在排好序的数组中查找很容易想到可以用二分查找（Binary Search), 这里对数组长度小的做二分， 保证数组A 和 数组B 做partition 之后
len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2-m是数组A的长度，n是数组B的长度
对数组A的做partition的位置是区间 [0,m]
如图：
下图给出几种不同情况的例子（注意但左边或者右边没有元素的时候，左边用 INF_MIN，右边用 INF_MAX表示左右的元素：
下图给出具体做的partition 解题的例子步骤，
时间复杂度：O(log(min(m,n))-mislength of A,nislength of B
空间复杂度：O(1) - 这里没有用额外的空间
关键点分析
- 暴力求解，在线性时间内merge两个排好序的数组成一个数组。
- 二分查找，关键点在于
- 要partition两个排好序的数组成左右两等份，partition需要满足
len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是数组A的长度， n是数组B的长度 - 并且partition后 A左边最大(
maxLeftA), A右边最小（minRightA), B左边最大（maxLeftB), B右边最小（minRightB) 满足(maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA)
有了这两个条件，那么median就在这四个数中，根据奇数或者是偶数，
奇数：
median = max(maxLeftA, maxLeftB)
偶数：
median = (max(maxLeftA, maxLeftB) + min(minRightA, minRightB)) / 2代码（Java code）
解法一 - 暴力解法（Brute force）
class MedianTwoSortedArrayBruteForce {
public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
int[] newArr = mergeTwoSortedArray(nums1, nums2);
int n = newArr.length;
if (n % 2 == 0) {
// even
return (double) (newArr[n / 2] + newArr[n / 2 - 1]) / 2;
} else {
// odd
return (double) newArr[n / 2];
}
}
private int[] mergeTwoSortedArray(int[] nums1, int[] nums2) {
int m = nums1.length;
int n = nums2.length;
int[] res = new int[m + n];
int i = 0;
int j = 0;
int idx = 0;
while (i < m && j < n) {
if (nums1[i] <= nums2[j]) {
res[idx++] = nums1[i++];
} else {
res[idx++] = nums2[j++];
}
}
while (i < m) {
res[idx++] = nums1[i++];
}
while (j < n) {
res[idx++] = nums2[j++];
}
return res;
}
}解法二 - 二分查找（Binary Search
class MedianSortedTwoArrayBinarySearch {
public static double findMedianSortedArraysBinarySearch(int[] nums1, int[] nums2) {
// do binary search for shorter length array, make sure time complexity log(min(m,n)).
if (nums1.length > nums2.length) {
return findMedianSortedArraysBinarySearch(nums2, nums1);
}
int m = nums1.length;
int n = nums2.length;
int lo = 0;
int hi = m;
while (lo <= hi) {
// partition A position i
int i = lo + (hi - lo) / 2;
// partition B position j
int j = (m + n + 1) / 2 - i;
int maxLeftA = i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1];
int minRightA = i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];
int maxLeftB = j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];
int minRightB = j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];
if (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA) {
// total length is even
if ((m + n) % 2 == 0) {
return (double) (Math.max(maxLeftA, maxLeftB) + Math.min(minRightA, minRightB)) / 2;
} else {
// total length is odd
return (double) Math.max(maxLeftA, maxLeftB);
}
} else if (maxLeftA > minRightB) {
// binary search left half
hi = i - 1;
} else {
// binary search right half
lo = i + 1;
}
}
return 0.0;
}
}腾讯云开发者
