算法之时间复杂度&几种排序算法探究 顶

认识时间复杂度

常数时间的操作:一个操作如果和数据量没有关系,每次都是 固定时间内完成的操作,叫做常数操作。 时间复杂度为一个算法流程中,常数操作数量的指标。常用O (读作big O)来表示。具体来说,在常数操作数量的表达式中, 只要高阶项,不要低阶项,也不要高阶项的系数,剩下的部分 如果记为f(N),那么时间复杂度为O(f(N))。 评价一个算法流程的好坏,先看时间复杂度的指标,然后再分 析不同数据样本下的实际运行时间,也就是常数项时间。

例子一:

一个简单的理解时间复杂度的例子 一个有序数组A,另一个无序数组B,请打印B中的所有不在A中的数,A数 组长度为N,B数组长度为M。 算法流程1:对于数组B中的每一个数,都在A中通过遍历的方式找一下; 算法流程2:对于数组B中的每一个数,都在A中通过二分的方式找一下; 算法流程3:先把数组B排序,然后用类似外排的方式打印所有在A中出现 的数; 三个流程,三种时间复杂度的表达... 如何分析好坏?

例子二:

对数器的概念和使用 0,有一个你想要测的方法a, 1,实现一个绝对正确但是复杂度不好的方法b, 2,实现一个随机样本产生器 3,实现比对的方法 3,把方法a和方法b比对很多次来验证方法a是否正确。 4,如果有一个样本使得比对出错,打印样本分析是哪个方法出 错 5,当样本数量很多时比对测试依然正确,可以确定方法a已经 正确。

例子三

冒泡排序细节的讲解与复杂度分析 时间复杂度O(N^2),额外空间复杂度O(1)

/**
 * 冒泡排序
 */
public class BubbleSort {
    public static void main(int[] arr) {
        if(arr==null || arr.length<2){
            return;
        }
        for (int end=arr.length-1;end>0;end--){
            for (int i = 0; i < end; i++) {
                if (arr[i]>arr[i+1]){
                    swap(arr,i,i+1);
                }
            }
        }
    }
    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        arr[i]=arr[i]^arr[j];
        arr[j]=arr[i]^arr[j];
        arr[i]=arr[i]^arr[j];
    }
    public static void main(String[] args) {
        int [] arr={1,4,23,6,78,9,0,2};
        main(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

例子四

选择排序的细节讲解与复杂度分析 时间复杂度O(N^2),额外空间复杂度O(1)

/**
 * 选择排序
 */
public class SelectionSort {
    public static void selectionSort(int[]arr){
       if (arr==null || arr.length<2){
           return;
       }
       for (int i=0;i<arr.length-1;i++){
            int minIndex=i;
           for (int j = i+1; j < arr.length; j++) {
               minIndex=arr[j]<arr[minIndex]?j:minIndex;
           }
           if(minIndex!=i){
               swap(arr,i,minIndex);
           }
       }
    }
    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        arr[i]=arr[i]^arr[j];
        arr[j]=arr[i]^arr[j];
        arr[i]=arr[i]^arr[j];
    }
    public static void main(String[] args) {
        int [] arr={1,4,23,6,78,9,0,2};
        selectionSort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

例子五

插入排序的细节讲解与复杂度分析 时间复杂度O(N^2),额外空间复杂度O(1)

/**
 * 插入排序
 */
public class InsertSort {
    public static void insertionSort(int [] arr){
        if (arr==null || arr.length<2){
            return;
        }
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            for (int j=i-1;j>=0 && arr[j]>arr[j+1];j--){
                swap(arr,j,j+1);
            }
        }
    }
    /**
     * 参与运算的两个值,如果两个相应bit位相同,则结果为0,否则为1。
     *   即:
     *   0^0 = 0,
     *   1^0 = 1,
     *   0^1 = 1,
     *   1^1 = 0
     *例如交换两个整数a=10100001,b=00000110的值,可通过下列语句实现:
     *  a = a^b;   //a=10100111
     *  b = b^a;   //b=10100001
     *  a = a^b;   //a=00000110
     */
    private static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        arr[i]=arr[i]^arr[j];
        arr[j]=arr[i]^arr[j];
        arr[i]=arr[i]^arr[j];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int [] arr={1,4,23,6,78,9,0,2};
        insertionSort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

例子六

剖析递归行为和递归行为时间复杂度的估算 一个递归行为的例子 master公式的使用 T(N) = a*T(N/b) + O(N^d) 1) log(b,a) > d -> 复杂度为O(N^log(b,a)) 2) log(b,a) = d -> 复杂度为O(N^d * logN) 3) log(b,a) < d -> 复杂度为O(N^d) 补充阅读:www.gocalf.com/blog/algorithm-complexity-and-mastertheorem.html

例子七

归并排序的细节讲解与复杂度分析 时间复杂度O(N*logN),额外空间复杂度O(N)

/**
 * 二分递归归并排序
 */
public class MergeSort {
    public static void mergeSort(int[] arr){
        if(arr==null || arr.length<2){
            return;
        }
        mergeSort(arr,0,arr.length-1);
    }

    private static void mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l==r){
            return;
        }
        int mid =l+((r-l)>>1);
        mergeSort(arr,l,mid);
        mergeSort(arr,mid+1,r);
        mergeSort(arr,l,mid,r);
    }

    private static void mergeSort(int[] arr, int l, int m, int r) {
        int[] help=new int[r-l+1];
        int i=0;
        int p1=l;
        int p2=m+1;
        while (p1<=m && p2<=r){
            help[i++]=arr[p1]<arr[p2]?arr[p1++]:arr[p2++];
        }
        while (p1<=m){
            help[i++]=arr[p1++];
        }
        while (p2<=r){
            help[i++]=arr[p2++];
        }
        for (int j = 0; j < help.length; j++) {
            arr[l+j]=help[j];
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr={1,2,5,3,6,8,5,4};
        mergeSort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

例子八

小和问题和逆序对问题 小和问题 在一个数组中,每一个数左边比当前数小的数累加起来,叫做这个数组的小和。求一个数组 的小和。 例子: [1,3,4,2,5] 1左边比1小的数,没有; 3左边比3小的数,1; 4左边比4小的数,1、3; 2左边比2小的数,1; 5左边比5小的数,1、3、4、2; 所以小和为1+1+3+1+1+3+4+2=16 逆序对问题 在一个数组中,左边的数如果比右边的数大,则折两个数构成一个逆序对,请打印所有逆序 对。

/**
 * 小和问题
 */
public class SmallSum {
    public static int smallSum(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return 0;
        }
        return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static int mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return 0;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        return mergeSort(arr, l, mid) + mergeSort(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
    }

    public static int merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m + 1;
        int res = 0;
        while (p1 <= m && p2 <= r) {
            res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= m) {
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[l + i] = help[i];
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int [] arr={1,2,3,4,5,6,7,8};
        smallSum(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

本文参考:牛客网

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