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泰勒公式和Gamma函数

今天带大家玩下数学中的编程,难度可能有点大,数学不好的人请离开。

泰勒公式

大家知道泰勒公式吗?对它的理解有多深呢?

数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差

泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这一点的邻域中的值。

就是我不知道那函数表达式,我想通过泰勒公式来计算值。

公式

其中,

表示f(x)的n阶导数,等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式,剩余的

是泰勒公式的余项,是

的高阶无穷小。

有名的泰勒级数:

下面咱们来用泰勒公式模拟

函数

代码编写

import numpy as np
import math
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
def calc_e_small(x):
    '''
    计算前10个
    :param x:
    :return:
    '''
    n = 10
    f = np.arange(1, n+1).cumprod() #阶乘
    b = np.array([x]*n).cumprod() # 算的是x的n次方
    # 这个就是公式
    return np.sum(b / f) + 1

大家可能对np.cumprod()函数不知道,就是计算阶乘的

但是这有个问题,如果x是负数,不就完了吗?可是

有数的,虽然很小。那怎么算?

下面用matplotlib来绘制出来

t1 = np.linspace(-2, 0, 10, endpoint=False)
t2 = np.linspace(0, 4, 20)
t = np.concatenate((t1, t2))
print(t)     # 横轴数据
y = np.empty_like(t)
for i, x in enumerate(t):
    y[i] = calc_e(x)
    print('e^', x, ' = ', y[i], '(近似值)\t', math.exp(x), '(真实值)')
plt.figure(facecolor='w')
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.plot(t, y, 'r-', t, y, 'go', linewidth=2, markeredgecolor='k')
plt.title('Taylor展式的应用 - 指数函数', fontsize=18)
plt.xlabel('X', fontsize=15)
plt.ylabel('exp(X)', fontsize=15)
plt.grid(True, ls=':')
plt.show()

图像如下

绘制正正弦函数

import numpy as np
import math
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
def calc_sin_small(x):
    x2 = -x ** 2
    t = x
    f = 1
    sum = 0
    for i in range(10):
        sum += t / f
        t *= x2
        f *= ((2*i+2)*(2*i+3))
    return sum
def calc_sin(x):
    a = x / (2*np.pi)
    k = np.floor(a)
    a = x - k*2*np.pi
    return calc_sin_small(a)
if __name__ == "__main__":
    t = np.linspace(-2*np.pi, 2*np.pi, 100, endpoint=False)
    print(t)     # 横轴数据
    y = np.empty_like(t)
    for i, x in enumerate(t):
        y[i] = calc_sin(x)
        print('sin(', x, ') = ', y[i], '(近似值)\t', math.sin(x), '(真实值)')
        print('误差:', y[i] - math.sin(x))
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    plt.figure(facecolor='w')
    plt.plot(t, y, 'bo', t, y, 'r-', linewidth=2)
    plt.title('Taylor展式的应用 - 正弦函数', fontsize=18)
    plt.xlabel('X', fontsize=15)
    plt.ylabel('sin(X)', fontsize=15)
    plt.xlim((-7, 7))
    plt.ylim((-1.1, 1.1))
    plt.grid(True)
    plt.show()

Gamma函数

伽玛函数(Gamma函数),也叫欧拉第二积分,是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数,也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

阶乘对于有数学基础的人来说都不陌生,简单理解就是数的累乘。10的阶乘10!=1098765432*1。但是我们有没有思考过,如分数的阶乘是如何运算的?有没有方法估算一个数的阶乘?

Γ函数是阶乘在实数上的推广

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import gamma
from scipy.special import factorial

mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = 'SimHei'


if __name__ == '__main__':
    N = 5
    x = np.linspace(0, N, 50)
    y = gamma(x+1)
    plt.figure(facecolor='w')
    plt.plot(x, y, 'r-', x, y, 'mo', lw=2, ms=7)
    z = np.arange(0, N+1)
    f = factorial(z, exact=True)    # 阶乘
    print(f)
    plt.plot(z, f, 'go', markersize=9)
    plt.grid(b=True)
    plt.xlim(-0.1,N+0.1)
    plt.ylim(0.5, np.max(y)*1.05)
    plt.xlabel('X', fontsize=15)
    plt.ylabel('Gamma(X) - 阶乘', fontsize=15)
    plt.title('阶乘和Gamma函数', fontsize=16)
    plt.show()

最后,祝有所学习,有所成长

本文分享自微信公众号 - Python之王(gh_70a22bfa8e3a),作者:小sen

原文出处及转载信息见文内详细说明,如有侵权,请联系 yunjia_community@tencent.com 删除。

原始发表时间:2019-08-24

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