Chapter 2. 反向传播

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• 前言

BP算法最初在1970年代被提及，主要用于快速计算代价函数的梯度，其核心是代价函数CCC关于任意权重www（或偏置bbb）的偏导数∂C∂w\frac {\partial C}{\partial w}∂w∂C​的表达式，通过改变权重和偏置，从而评估代价函数变化的快慢。

2.1 神经网络中使用矩阵快速计算输出的方法

• 权重

用wjklw_{j_k}^lwjk​l​表示从(l−1)th(l-1)^{th}(l−1)th层的kthk^{th}kth个神经元到lthl^{th}lth层的jthj^{th}jth个神经元的连接上的权重。

第2层的第4个神经元到第3层的第2个神经元的连接上的权重

用bjlb_j^lbjl​表示在lthl^{th}lth层第jthj^{th}jth个神经元的偏置，使用ajla^l_jajl​表示lthl^{th}lth层第jthj^{th}jth个神经元的激活值。从而变可以对lthl^{th}lth层的第jthj^{th}jth个神经元的激活值ajla^l_jajl​和(l−1)th(l-1)^{th}(l−1)th层的激活值建立关联：

$ a_j^l=\sigma (\sum_k w^l_{jk} a{l-1}_{k}+b_jl) $

求和在其中(l−1)th(l-1)^{th}(l−1)th层上的kkk个神经元进行。为方便重写，对每层lll均定义一个权重矩阵wlw^lwl，其中的元素为连接到lthl^{th}lth层神经元的权重。同样对每层顶一个偏置向量blb^lbl，其中的元素即为bjlb^l_jbjl​，每个元素对应lthl^{th}lth层的每个神经元。然后定义激活向量ala^lal，元素为激活值ajla^l_jajl​。这样一来，上面的式子就可以改写为下列形式：

al=σ(wlal−1+bl)a^l=\sigma (w^l a^{l-1}+b^l)al=σ(wlal−1+bl)

上述表达式全局考虑了每层激活值和前一层激活值的关联方式：用权重矩阵作用在激活值上，然后加上一个偏置向量，最后作用于代价函数σ\sigmaσ，其中wlal−1+blw^l a^{l-1}+b^lwlal−1+bl叫做lll层神经元的带权输入。

2.2 关于代价函数的两个假设

• 回顾

$ C = \frac{1}{2n} \ sum _x ||y(x)-aL(x)||2 $

上式为二次代价函数，nnn为训练样本总数，求和遍历每个训练样本xxx，y=y(x)y=y(x)y=y(x)为对应目标输出，LLL表示网络层数，aL=aL(x)a^L=a^L(x)aL=aL(x)是当输入为xxx时网络输出的激活值向量。

• 两个假设
  • 代价函数可以被写成一个在每个训练样本xxx上的代价函数CxC_xCx​的均值C=1n∑xCxC=\frac{1}{n} \sum_xC_xC=n1​∑x​Cx​

因为反向传播实际上是对一个独立的训练样本计算∂Cx/∂w\partial C_x / \partial w∂Cx​/∂w和∂Cx/∂b\partial C_x / \partial b∂Cx​/∂b，然后通过在所有训练样本上进行平均化从而获得∂C/∂w\partial C / \partial w∂C/∂w和∂C/∂b\partial C / \partial b∂C/∂b。一旦有了这个假设，则可认为训练样本xxx固定.

• 代价函数可以写成神经网络输出的函数

因为对于一个单体训练样本xxx而言，其二次代价函数可以写成下列式子，同时它也是输出的激活值的函数：

$ C= \frac{1}{2}||y-aL||2=\frac{1}{2}\sum_j(y_j-a_jL)2 $

2.3 Hadamard乘积

• 定义

假设sss和ttt是相同维度的向量，则使用sΘts\Theta tsΘt来表示按元素的乘积，这种类型的按元素乘法也叫做Hadamard乘积或Schur乘积，即(sΘt)j=sjtj(s\Theta t )_j = s_jt_j(sΘt)j​=sj​tj​

$ \left[\begin{matrix}1\2\end{matrix}\right] \Theta \left[\begin{matrix}3\4\end{matrix}\right] = \left[ \begin{matrix} 1 * 3 \2 * 4\end{matrix}\right ]=\left[ \begin{matrix} 3\8 \end{matrix} \right] $

2.4 反向传播的四个基本方程

反向传播的实质是计算偏导数∂C/∂wjkl\partial C / \partial w^l_{jk}∂C/∂wjkl​和∂C/∂bjl\partial C / \partial b^l_j∂C/∂bjl​，为计算这些值引入中间量δjl\delta_j^lδjl​，称为在lthl^{th}lth层第jthj^{th}jth个神经元上的误差，反向传播将给出计算误差的流程，并关联到所计算值。

• 输出层误差的方程，δL\delta^LδL，BP1

$ \delta ^L_j = \frac{\partial C}{\partial a_jL}\sigma、(z_j^L) $

右式第一项代表代价随着jthj^{th}jth输出激活值的变化而变化的速度，第二项表示在zjLz^L_jzjL​处激活函数σ\sigmaσ变化的速度，如果CCC不依赖一个特定的输出神经元jjj，则δjL\delta^L_jδjL​则会极小，符合我们预期目标。以矩阵形式重写方程时可写为如下形式：

$ \delta ^L = \triangledown _aC \Theta \sigma、(zL) $

▽aC\triangledown _aC▽a​C是一个向量，其元素为偏导数∂C/∂ajL\partial C / \partial a_j^L∂C/∂ajL​，可以将其看成是CCC关于输出激活值的改变速度。

• 使用下一层的误差δl+1\delta ^{l+1}δl+1来表示当前层的误差δl\delta ^lδl，BP2

$ \delta ^l = ((w{l+1})T \delta^{l+1}) \Theta \sigma、(zl) $

其中(wl+1)T(w^{l+1})^T(wl+1)T是(l+1)th(l+1)^{th}(l+1)th层权重矩阵wl+1w^{l+1}wl+1的转置。通过组合上述两式，就可以计算出任意层的误差δl\delta ^lδl。先利用BP1计算δL\delta ^LδL，而后利用BP2计算δL−1\delta ^{L-1}δL−1，最后一步一步反向传播到整个网络。

• 代价函数关于网络中任意偏置的改变率，BP3

$ \frac {\partial C}{\partial b_j^l} = \delta^l_j $

即误差δjl\delta ^l_jδjl​和偏导数∂C/∂bjl\partial C / \partial b_j^l∂C/∂bjl​**完全一致。**BP1和BP2可以计算δjl\delta ^l_jδjl​，所以BP3简化为：

$ \frac {\partial C}{\partial b} = \delta $

其中误差δ\deltaδ和偏置bbb都是针对同一个神经元而言。

• 代价函数关于任何一个权重的改变率，BP4

$ \frac {\partial C}{\partial w^l_{jk}} = a_k^{l-1} \delta_j^l $

也等同于下式，其中aina_{in}ain​是输入给权重www的神经元的激活值，δout\delta_{out}δout​是输出自权重www的神经元的误差。

$ \frac {\partial C}{\partial w} = a_{in} \delta_{out} $

[图片上传失败…(image-aaffdb-1565679482579)]

上述结构中好的结果就是当激活值aina_{in}ain​很小，ain≈0a_{in} \approx 0ain​≈0，此时梯度∂C/∂w\partial C / \partial w∂C/∂w也趋于很小，这时候就说权重缓慢学习，表示在梯度下降时，权重不会改变太多，即来自低激活值神经元的权重学习将非常缓慢。

• 其他理解的方面

对于（BP1）中的KaTeX parse error: Can't use function '\(' in math mode at position 9: \sigma^、\̲(̲z\_j^l\)，当KaTeX parse error: Can't use function '\(' in math mode at position 7: \sigma\̲(̲z\_j^l\)近似等于0或1时，σ\sigmaσ函数变得非常平，此时KaTeX parse error: Can't use function '\(' in math mode at position 9: \sigma^、\̲(̲z\_j^L\)\approx…。所以如果输出神经元处于或低(≈0\approx 0≈0)或高(≈1\approx 1≈1)激活值时，最终层的权重学习速度将变缓慢或终止，此时则称输出神经元已经饱和，类似结果对输出神经元的偏置也成立。

• 总结

反向传播的四个方程式

• 问题 基于传统矩阵乘法，另一种反向传播方程的表示形式如下：
  • BP1 δL=∑、(zL)▽aC\delta^L=\sum^、(z^L)\triangledown_aCδL=∑、(zL)▽a​C
  • BP2 δl=∑、(zL)(wl+1)Tδl+1\delta^l=\sum^、(z^L)(w^{l+1})^T\delta^{l+1}δl=∑、(zL)(wl+1)Tδl+1
  • 从而推出 δl=∑、(zl)(wl+1)T...∑、(zL−1)(wL)T∑、(zL)▽aC\delta^l = \sum ^、(z^l)(w^{l+1})^T...\sum ^、(z^{L-1})(w^L)^T\sum^、(z^L)\triangledown _aCδl=∑、(zl)(wl+1)T...∑、(zL−1)(wL)T∑、(zL)▽a​C

2.6 反向传播算法

• 算法描述
  1. 输入x：为输入层设置对应的激活值a1a^1a1；
  2. 前向传播：对每个l=1,2,3,...,Ll=1,2,3,...,Ll=1,2,3,...,L计算相应的zl=wlal−1+blz^l=w^la^{l-1}+b^lzl=wlal−1+bl和KaTeX parse error: Can't use function '\(' in math mode at position 11: a^l=\sigma\̲(̲z^l\)；
  3. 输出层误差δL\delta^LδL：计算向量KaTeX parse error: Can't use function '\(' in math mode at position 41: …C\Theta\sigma^、\̲(̲z^L\)；
  4. 反向误差传播：对于每个l=L−1,L−2,...,2l=L-1,L-2,...,2l=L−1,L−2,...,2，计算KaTeX parse error: Can't use function '\(' in math mode at position 10: \delta^l=\̲(̲\(w^{l+1}\)^T\d…；
  5. 输出：代价函数的梯度由∂C∂wjkl=a_kl−1δl_j\frac{\partial C}{\partial w_{jk}^l} = a\_k^{l-1}\delta^l\_j∂wjkl​∂C​=a_kl−1δl_j和∂C∂bjl=δ_jl\frac{\partial C}{\partial b_{j}^l}=\delta\_j^l∂bjl​∂C​=δ_jl共同得出； ‌ 也等同于下式，其中www的神经元的激活值，δoutδ_{out}δout​​是输出自权重www的神经元的误差。 ∂w∂C​=ain​δout​ \frac{∂w}{∂C​}=a_{in}​δ_{out}​∂C​∂w​=ain​​δout​​

‌

上述结构中好的结果就是当激活值aina_{in}ain​很小，ain≈0a_{in} \approx 0ain​≈0，此时梯度∂C/∂w∂C/∂w∂C/∂w也趋于很小，这时候就说权重缓慢学习，表示在梯度下降时，权重不会改变太多，即来自低激活值神经元的权重学习将非常缓慢。

• 其他理解的方面

对于（BP1）中的σ、(zjl)\sigma^、(z_j^l)σ、(zjl​)，当σ(zjl)\sigma(z_j^l)σ(zjl​)近似等于0或1时，σ\sigmaσ函数变得非常平，此时σ、(zjL)≈0\sigma^、(z_j^L)\approx0σ、(zjL​)≈0。所以如果输出神经元处于或低(≈0\approx 0≈0)或高(≈1\approx 1≈1)激活值时，最终层的权重学习速度将变缓慢或终止，此时则称输出神经元已经饱和，类似结果对输出神经元的偏置也成立。

• 总结

反向传播的四个方程式

• 问题

基于传统矩阵乘法，另一种反向传播方程的表示形式如下：

• BP1

δL=∑、(zL)▽aC\delta^L=\sum^、(z^L)\triangledown_aCδL=∑、​(zL)▽a​C

• BP2

δl=∑、(zL)(wl+1)Tδl+1\delta^l=\sum^、(z^L)(w^{l+1})^T\delta^{l+1}δl=∑、​(zL)(wl+1)Tδl+1

• 从而推出 δl=∑、(zl)(wl+1)T...∑、(zL−1)(wL)T∑、(zL)▽aC\delta^l = \sum ^、(z^l)(w^{l+1})^T...\sum ^、(z^{L-1})(w^L)^T\sum^、(z^L)\triangledown _aCδl=∑、​(zl)(wl+1)T...∑、​(zL−1)(wL)T∑、​(zL)▽a​C