交叉熵损失(Cross Entropy)求导

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文链接：https://blog.csdn.net/chaipp0607/article/details/101946040

Cross Entropy是分类问题中常见的一种损失函数，我们在之前的文章提到过二值交叉熵的证明和交叉熵的作用，下面解释一下交叉熵损失的求导。 首先一个模型的最后一层神经元的输出记为f0...fif_{0}...f_{i}f0​...fi​， 输出经过softmax激活之后记为p0...pip_{0}...p_{i}p0​...pi​，那么： pi=efi∑k=0C−1efkp_{i} = \frac{e^{f_{i}}}{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}}pi​=∑k=0C−1​efk​efi​​ 类别的实际标签记为y0...yiy_{0}...y_{i}y0​...yi​，那么交叉熵损失L为： L=−∑i=0C−1yilogpiL = -\sum_{i=0}^{C-1} y_{i}log^{p_{i}}L=−i=0∑C−1​yi​logpi​ 上式中的logloglog是一种简写，为了后续的求导方便，一般我们认为logloglog的底是eee，即logloglog为lnlnln。 那么LLL对第iii个神经元的输出fif_{i}fi​求偏导∂L∂fi\frac{\partial L}{\partial f_{i}}∂fi​∂L​: 根据复合函数求导原则： ∂L∂fi=∑j=0C−1∂Lj∂pj∂pj∂fi\frac{\partial L}{\partial f_{i}} = \sum_{j=0}^{C-1} \frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}}∂fi​∂L​=j=0∑C−1​∂pj​∂Lj​​∂fi​∂pj​​ 在这里需要说明，在softmax中我们使用了下标iii和kkk，在交叉熵中使用了下标iii，但是这里的两个iii并不等价，因为softmax的分母中包含了每个神经元的输出fff，也就是激活后所有的ppp对任意的fif_{i}fi​求偏导都不为0，同时LLL中又包含了所有的ppp，所以为了避免重复我们需要为ppp引入一个新的下标jjj，jjj有0...C−10...C-10...C−1这C种情况。 那么依次求导：

∂Lj∂pj=∂(−yjlogpj)∂(pj)\frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}= \frac{\partial (-y_{j}log^{p_{j}})}{\partial (p_{j})}∂pj​∂Lj​​=∂(pj​)∂(−yj​logpj​)​

由于默认一般我们认为logloglog的底是eee，即logloglog为lnlnln，所以：

∂Lj∂pj=∂(−yjlogpj)∂(pj)=−yjpj\frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}= \frac{\partial (-y_{j}log^{p_{j}})}{\partial (p_{j})} =-\frac{y_{j}}{p_{j}}∂pj​∂Lj​​=∂(pj​)∂(−yj​logpj​)​=−pj​yj​​

接着要求∂pj∂fi\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}}∂fi​∂pj​​的值，在这里可以发现，每一个pjp_{j}pj​中都包含fif_{i}fi​，所以∂pj∂fi\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}}∂fi​∂pj​​都不是0，但是j=ij=ij=i和j≠ij \neq ij​=i的时候，∂pj∂fi\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}}∂fi​∂pj​​结果又不相同，所以这里需要分开讨论：

• 首先j=ij=ij=i时： ∂pj∂fi=∂pi∂fi=∂efi∑k=0C−1efk∂fi\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}} = \frac{\partial p_{i}}{\partial f_{i}} = \frac{\partial \frac{e^{f_{i}}}{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}}}{\partial f_{i}} ∂fi​∂pj​​=∂fi​∂pi​​=∂fi​∂∑k=0C−1​efk​efi​​​ =(efi)′∑k=0C−1efk−efi(∑k=0C−1efk)′(∑k=0C−1efk)2= \frac{ (e^{f_{i}})' \sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}} - e^{f_{i}}(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})' }{(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})^{2}} =(∑k=0C−1​efk​)2(efi​)′∑k=0C−1​efk​−efi​(∑k=0C−1​efk​)′​ =efi∑k=0C−1efk−(efi)2(∑k=0C−1efk)2=efi∑k=0C−1efk−(efi∑k=0C−1efk)2= \frac{ e^{f_{i}}\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}} - (e^{f_{i}})^2 }{(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})^{2}}= \frac{ e^{f_{i}} }{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}} - (\frac{ e^{f_{i}} }{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}})^2=(∑k=0C−1​efk​)2efi​∑k=0C−1​efk​−(efi​)2​=∑k=0C−1​efk​efi​​−(∑k=0C−1​efk​efi​​)2 =pi−(pi)2=pi(1−pi) = p_{i}-(p{i})^2 = p_{i}(1-p_{i})=pi​−(pi)2=pi​(1−pi​)
• 然后j≠ij\neq ij​=i时： ∂pj∂fi=∂efj∑k=0C−1efk∂fi\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}}= \frac{\partial \frac{e^{f_{j}}}{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}}}{\partial f_{i}} ∂fi​∂pj​​=∂fi​∂∑k=0C−1​efk​efj​​​ =(efj)′∑k=0C−1efk−efj(∑k=0C−1efk)′(∑k=0C−1efk)2= \frac{ (e^{f_{j}})' \sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}} - e^{f_{j}}(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})' }{(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})^{2}} =(∑k=0C−1​efk​)2(efj​)′∑k=0C−1​efk​−efj​(∑k=0C−1​efk​)′​ =−efiefj(∑k=0C−1efk)2=−efi∑k=0C−1efkefj∑k=0C−1efk= \frac{ - e^{f_{i}} e^{f_{j}} }{(\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}})^{2}} = - \frac{ e^{f_{i}} }{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}} \frac{ e^{f_{j}} }{\sum_{k=0}^{C-1} e^{f_{k}}}=(∑k=0C−1​efk​)2−efi​efj​​=−∑k=0C−1​efk​efi​​∑k=0C−1​efk​efj​​ =−pipj = -p_{i}p_{j}=−pi​pj​

对于最后的偏导数，需要把上述两个部分加起来： ∂L∂fi=∑j=iC−1∂Lj∂pj∂pj∂fi+∑j≠iC−1∂Lj∂pj∂pj∂fi\frac{\partial L}{\partial f_{i}} = \sum_{j=i}^{C-1} \frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}} + \sum_{j\neq i}^{C-1} \frac{\partial L_{j}}{\partial p_{j}}\frac{\partial p_{j}}{\partial f_{i}}∂fi​∂L​=j=i∑C−1​∂pj​∂Lj​​∂fi​∂pj​​+j​=i∑C−1​∂pj​∂Lj​​∂fi​∂pj​​ =−yipipi(1−pi)+∑j≠iC−1−pipj(−yjpj)=-\frac{y_{i}}{p_{i}}p_{i}(1-p_{i}) + \sum_{j\neq i}^{C-1}-p_{i}p_{j}(-\frac{y_{j}}{p_{j}})=−pi​yi​​pi​(1−pi​)+j​=i∑C−1​−pi​pj​(−pj​yj​​) =−yi(1−pi)+∑j≠iC−1piyj=-y_{i}(1-p_{i}) + \sum_{j\neq i}^{C-1}p_{i}y_{j}=−yi​(1−pi​)+j​=i∑C−1​pi​yj​ =yipi−yi+∑j≠iC−1piyj=y_{i}p_{i}-y_{i} + \sum_{j\neq i}^{C-1}p_{i}y_{j}=yi​pi​−yi​+j​=i∑C−1​pi​yj​

在上式中，j≠ij\neq ij​=i的情况中刚好缺了j=ij=ij=i，所以可以继续改写为： =∑j=0C−1piyj−yi=\sum_{j=0}^{C-1}p_{i}y_{j} - y_{i} =j=0∑C−1​pi​yj​−yi​ =pi∑j=0C−1yj−yi=p_{i}\sum_{j=0}^{C-1}y_{j} - y_{i} =pi​j=0∑C−1​yj​−yi​ 而∑j=0C−1yj=1\sum_{j=0}^{C-1}y_{j} = 1∑j=0C−1​yj​=1，所以： =pi∑j=0C−1yj−yi=pi−yi=p_{i}\sum_{j=0}^{C-1}y_{j} - y_{i} = p_{i}-y_{i} =pi​j=0∑C−1​yj​−yi​=pi​−yi​