直观理解梯度，以及偏导数、方向导数和法向量等

李拜六不开鑫

修改于 2020-04-26 16:01:17

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写在前面

梯度是微积分中的基本概念，也是机器学习解优化问题经常使用的数学工具（梯度下降算法），虽然常说常听常见，但其细节、物理意义以及几何解释还是值得深挖一下，这些不清楚，梯度就成了“熟悉的陌生人”，仅仅“记住就完了”在用时难免会感觉不踏实，为了“用得放心”，本文将尝试直观地回答以下几个问题，

梯度与偏导数的关系？
梯度与方向导数的关系？
为什么说梯度方向是上升最快的方向，负梯度方向为下降最快的方向？
梯度的模有什么物理意义？
等高线图中绘制的梯度为什么垂直于等高线？
全微分与隐函数的梯度有什么关系？
梯度为什么有时又成了法向量？

闲话少说，书归正传。在全篇“作用域”内，假定函数可导。

偏导数

在博文《单变量微分、导数与链式法则博客园 | CSDN | blog.shinelee.me》中，我们回顾了常见初等函数的导数，概括地说，

导数是一元函数的变化率（斜率）。导数也是函数，是函数的变化率与位置的关系。

如果是多元函数呢？则为偏导数。

偏导数是多元函数“退化”成一元函数时的导数，这里“退化”的意思是固定其他变量的值，只保留一个变量，依次保留每个变量，则(N)元函数有(N)个偏导数。以二元函数为例，令(z=f(x,y))

，绘制在3维坐标系如下图所示，

由上可知，一个变量对应一个坐标轴，偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数（切线斜率）。

方向导数

如果是方向不是沿着坐标轴方向，而是任意方向呢？则为方向导数。如下图所示，点(P)位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率，来自链接Directional Derivative

方向导数为函数在某一个方向上的导数，具体地，定义xy平面上一点(a, b)以及单位向量vec u = (cos theta ,sin theta )，在曲面z=f(x, y)上，从点(a,b, f(a,b))出发，沿vec u = (cos theta ,sin theta )方向走t单位长度后，函数值z为F(t)=f(a+t cos theta, b + t sin theta)，则点(a,b)处vec u = (cos theta ,sin theta )方向的方向导数为：

\begin{aligned} &\left.\frac{d}{d t} f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta)\right|_{t=0} \\=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b+t \sin \theta)}{t} + \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\=& \frac{\partial}{\partial x} f(a, b) \frac{d x}{d t}+\frac{\partial}{\partial y} f(a, b) \frac{d y}{d t} \\=& f_x (a, b) \cos \theta+ f_y (a, b) \sin \theta \\=&\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \end{aligned}

上面推导中使用了链式法则。其中，f_x (a, b)和f_y (a, b)分别为函数在(a, b)位置的偏导数。由上面的推导可知：

该位置处，任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时，方向导数即偏导数，换句话说，偏导数为坐标轴方向上的方向导数，其他方向的方向导数为偏导数的合成。

写成向量形式，偏导数构成的向量为nabla f(a, b) = (f_x (a, b), f_y (a, b))，称之为梯度。

梯度

梯度，写作nabla f，二元时为(frac{part{z}}{part{x}}, frac{part{z}}{part{y}})，多元时为(frac{part{z}}{part{x}, frac{part{z}}{part{y}},dots))。我们继续上面方向导数的推导，(a,b)处theta方向上的方向导数为

\begin{aligned} &\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \\ =& |((f_x (a, b), f_y (a, b))| \cdot |1| \cdot \cos \phi \\=& |\nabla f(a,b)| \cdot \cos \phi \end{aligned}

其中，phi为nabla f(a,b)与vec u的夹角，显然，当phi = 0即vec u与梯度nabla f(a,b)同向时，方向导数取得最大值，最大值为梯度的模|nabla f(a,b)|，当phi = pi即vec u与梯度nabla f(a,b)反向时，方向导数取得最小值，最小值为梯度模的相反数。此外，根据上面方向导数的公式可知，在夹角phi < frac{pi}{2}时方向导数为正，表示vec u方向函数值上升，phi > frac{pi}{2}时方向导数为负，表示该方向函数值下降。

至此，方才有了梯度的几何意义：

当前位置的梯度方向，为函数在该位置处方向导数最大的方向，也是函数值上升最快的方向，反方向为下降最快的方向；
当前位置的梯度长度（模），为最大方向导数的值。

等高线图中的梯度

在讲解各种优化算法时，我们经常看到目标函数的等高线图示意图，如下图所示，来自链接Applet: Gradient and directional derivative on a mountain，

图中，红点为当前位置，红色箭头为梯度，绿色箭头为其他方向，其与梯度的夹角为theta。将左图中z=f(x, y)

曲面上的等高线投影到xy平面，得到右图的等高线图。

梯度与等高线垂直。为什么呢？

等高线，顾名思义，即这条线上的点高度（函数值）相同，令某一条等高线为z=f(x,y)=C，C为常数，两边同时全微分，如下所示

隐函数的梯度

小结

至此，文章开篇几个问题的答案就不难得出了，

偏导数构成的向量为梯度；
方向导数为梯度在该方向上的合成，系数为该方向的单位向量；
梯度方向为方向导数最大的方向，梯度的模为最大的方向导数；
微分的结果为梯度与微分向量的内积
等高线全微分的结果为0，所以其梯度垂直于等高线，同时指向高度更高的等高线
隐函数可以看成是一种等高线，其梯度为高维曲面（曲线）的法向量

以上。

参考

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原始发表：2019-10-21 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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