一站式解决：隐马尔可夫模型（HMM）全过程推导及实现
一站式解决：隐马尔可夫模型（HMM）全过程推导及实现
【导读】隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是关于时许的概率模型，是一个生成模型，描述由一个隐藏的马尔科夫链随机生成不可观测的状态序列，每个状态生成一个观测，而由此产生一个观测序列。
定义抄完了，下面我们从一个简单的生成过程入手，顺便引出HMM的参数。
假设有4个盒子，每个盒子里面有不同数量的红、白两种颜色的球，具体如下表：
本栗子引用自《统计学习方法》
现在从这些盒子中抽取若干（
）个球，每次抽取后记录颜色，再放回原盒子，采样的规则如下：
开始时，按照一个初始概率分布随机选择第一个盒子，这里将第一个盒子用
表示：
将
的值用变量
表示。因为有4个盒子可共选择，所以
。然后随机从该盒子中抽取一个球，使用
表示：
将
的值用变量
表示。因为只有两种球可供选择，所以
。一共有4个箱子，2种球，结合前面的箱子的详细数据，可以得到从每一个箱子取到各种颜色球的可能性，用一个表格表示：
进一步，可以用一个矩阵（称为观测概率矩阵，也有资料叫做发射矩阵）来表示该表
其中
表示在当前时刻给定 的条件下，给定
表示当前的时刻，例如现在是第1时刻；然后是前面标注的初始概率分布，这个概率分布可以用一个向量（称作初始状态概率向量）来表示：
其中的
例如该分布是均匀分布的话，对应的向量就是
记录抽取的球的颜色后将其放回，然后在按照如下规则选择下一个盒子（
）：
- 如果当前是盒子1，则选择盒子2
- 如果当前是盒子2或3，则分布以概率0.4和0.6选择前一个或后一个盒子
- 如果当前是盒子4，则各以0.5的概率停留在盒子4或者选择盒子3
同样，也可以根据以上规则做出一个表格，其中首列表示当前盒子，首行表示下一个盒子
同样使用一个矩阵（称为状态转移矩阵）来表示上表
以上，生成过程的主要流程就介绍完了，简单概括就是：盒子，取球，盒子，取球……直到生成指定数量（T）的数据后停止。如果对这个过程还有不太理解的话，可以看看文章开头给出的关于马尔科夫链的链接。
现在，整理一下参数：有两个矩阵，一个向量：
其中N表示隐变量z的状态数量，M表示观测变量x可能的取值数量，在后面的讨论中，用
表示所有的参数。下面，根据这个栗子，写一个数据生成代码
import numpy as np
class HMM(object):
def __init__(self, N, M, pi=None, A=None, B=None):
self.N = N
self.M = M
self.pi = pi
self.A = A
self.B = B
def get_data_with_distribute(self, dist): # 根据给定的概率分布随机返回数据（索引）
r = np.random.rand()
for i, p in enumerate(dist):
if r < p: return i
r -= p
def generate(self, T: int):
'''
根据给定的参数生成观测序列
T: 指定要生成数据的数量
'''
z = self.get_data_with_distribute(self.pi) # 根据初始概率分布生成第一个状态
x = self.get_data_with_distribute(self.B[z]) # 生成第一个观测数据
result = [x]
for _ in range(T-1): # 依次生成余下的状态和观测数据
z = self.get_data_with_distribute(self.A[z])
x = self.get_data_with_distribute(self.B[z])
result.append(x)
return result
if __name__ == "__main__":
pi = np.array([.25, .25, .25, .25])
A = np.array([
[0, 1, 0, 0],
[.4, 0, .6, 0],
[0, .4, 0, .6],
[0, 0, .5, .5]])
B = np.array([
[.5, .5],
[.3, .7],
[.6, .4],
[.8, .2]])
hmm = HMM(4, 2, pi, A, B)
print(hmm.generate(10)) # 生成10个数据
# 生成结果如下
[0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0] # 0代表红球，1代表白球
现在，参数介绍完了，数据生成过程也了解了，接下来就是解决HMM的基本问题了，一共有三个
不过，在讨论这三个问题的相关算法之前，首先要给出两个假设，在后面的推导过程中会不断的用到：
- 齐次马尔可夫假设：即任意时刻的状态只依赖于前一时刻的状态，与其他时刻的状态无关（当然，初始时刻的状态由参数π决定）：
- 观测独立假设：即任意时刻的观测只依赖于该时刻的状态，与其他无关：概率计算算法
概率计算算法
现在，来看第一个问题，关于概率的计算，由于存在隐变量，所以X的边际概率需要将所有的联合概率
加和得到：
由于给出了T个观测数据，所以相应的状态也有T 个：
将（1）式中的
展开得到：
即使不考虑内部的计算，这起码也是
阶的计算量，所以需要更有效的算法，下面介绍两种：前向算法和后向算法。
设有T 个序列，如下图所示:
现在定义一个前向概率
，它t时刻的状态以及1,2,...t时刻的观测在给定参数下的联合概率：
也就是下图中标记的那一部分
根据定义，可以得到它的初值：
其中
表示由状态
生成给定观测数据的概率，例如设t时刻观测数据
，有
接着，根据（2）式，还可以得到：
由此公式，遍历
的取值求和，可以得到
的边际概率
首先，来看上式中红色部分，根据观测独立假设（下文再引用该假设时称作假设2）：
然后是蓝色部分，根据齐次马尔可夫假设（下文再引用该假设时称作假设1）
将上述结果代入（3）式，得到
以上就是前向算法的推导，下面根据一个栗子来写代码，假设前面抽了五个球，分别是：红、红、白、白、红，求概率
class HMM(object):
def evaluate(self, X):
'''
根据给定的参数计算条件概率
X: 观测数据
'''
alpha = self.pi * self.B[:,X[0]]
for x in X[1:]:
# alpha_next = np.empty(self.N)
# for j in range(self.N):
# alpha_next[j] = np.sum(self.A[:,j] * alpha * self.B[j,x])
# alpha = alpha_next
alpha = np.sum(self.A * alpha.reshape(-1,1) * self.B[:,x].reshape(1,-1), axis=0)
return alpha.sum()
print(hmm.evaluate([0,0,1,1,0])) # 0.026862016
上面的注释中的代码是按照公式来写的，可以看出，时间复杂度降为了
，比之前至少
的起步价已经好太多了.
接着，再讨论后向算法，首先定义后向概率：
也就是下图中的部分
并且规定初始值
根据（4）式，还可以得到
另外说一点，如果对于前向算法还有印象的话，你会发现：上面
的定义。实际上，对于任意时刻t，存在以下等式
观察上式，蓝色部分自然就是
。而红色部分，根据假设2，
都是无关（即互相独立），可以省去，所以这部分最终变为：
推导完毕，上代码
def evaluate_backward(self, X):
beta = np.ones(self.N)
for x in X[:0:-1]:
beta_next = np.empty(self.N)
for i in range(self.N):
beta_next[i] = np.sum(self.A[i,:] * self.B[:,x] * beta)
beta = beta_next
return np.sum(beta * self.pi * self.B[:,X[0]])
和前向算法差不多，而且是照着公式写的，就不写注释了，还是使用前面的栗子，跑了一下发现结果是一样的。我想，同时写两个BUG得出同一个结果的概率应该很小很小吧
学习算法
现在，概率计算的问题就解决了，接着来看第二个问题，参数学习，这里需要用到EM算法，不熟悉的可以参考一下：https://zhuanlan.zhihu.com/p/85236423
然后，对Q函数中的每一项进行化简，首先是第一项，用到了齐次马尔可夫假设：
接着是第二项，用到了观测独立假设
又因我们要求使Q函数最大化的参数，即：
将结果代入（5）式，得到
其中，
就是当前参数下观测数据的概率，就是第一个问题所求解的。另外，利用第一个问题中定义的前向概率和后向概率，有：
最终得到：
接着来看矩阵A的迭代公式
同样，将上式化简，另外为了在后面方便引用，将该式设为一个函数f
可以看到，一共是
个相似的项，我们提一个（红色部分）出来化简，看看能不能找到通项公式
这样，就化简出了通向公式，将它代入f中，得到
因为
是一个概率分布的矩阵，例如前面的栗子，每一行的和等于1
所以A是有约束的：
同样，使用拉格朗日乘数法，构造目标函数
将该函数对矩阵A的每一个元素求（偏）导并令导数为0：
将两边同时乘上
，得到
注意一下上面的下标t与上标中（t+1）它们是不同的，由于变量比较多，各种ijk比较多，所以这里需要注意一下。然后利用
的约束，代入（6）式，得到：
然后化简：
代入（7）式，得到
（8）式中，分母部分前面已经解决了，下面来看分子部分，进行化简
注意，上面的化简中，
。然后红色和蓝色部分的化简用到了前面前面提过的两个假设，将条件中不被依赖的变量去掉了。最后代入（8）式得到：
最后，就剩观测概率矩阵（B）的迭代公式
同样，拆开化简
分析第一项：
代入f，得到
以前面的栗子为例，矩阵B同样有约束
也是要求每一行的和等于1
M是矩阵B的列数，前面已经定义过的，构造拉格朗日函数：
将该函数对矩阵B的每一项元素求导，得到：
同样利用B的约束条件，得到
化简得到（9）式的分母
根据上面的公式，直接敲代码了
class HMM(object):
def fit(self, X):
'''
根据给定观测序列反推参数
'''
# 初始化参数 pi, A, B
self.pi = np.random.sample(self.N)
self.A = np.ones((self.N,self.N)) / self.N
self.B = np.ones((self.N,self.M)) / self.M
self.pi = self.pi / self.pi.sum()
T = len(X)
for _ in range(50):
# 按公式计算下一时刻的参数
alpha, beta = self.get_something(X)
gamma = alpha * beta
for i in range(self.N):
for j in range(self.N):
self.A[i,j] = np.sum(alpha[:-1,i]*beta[1:,j]*self.A[i,j]*self.B[j,X[1:]]) / gamma[:-1,i].sum()
for j in range(self.N):
for k in range(self.M):
self.B[j,k] = np.sum(gamma[:,j]*(X == k)) / gamma[:,j].sum()
self.pi = gamma[0] / gamma[-1].sum()
def get_something(self, X):
'''
根据给定数据与参数，计算所有时刻的前向概率和后向概率
'''
T = len(X)
alpha = np.zeros((T,self.N))
alpha[0,:] = self.pi * self.B[:,X[0]]
for i in range(T-1):
x = X[i+1]
alpha[i+1,:] = np.sum(self.A * alpha[i].reshape(-1,1) * self.B[:,x].reshape(1,-1), axis=0)
beta = np.ones((T,self.N))
for j in range(T-1,0,-1):
for i in range(self.N):
beta[j-1,i] = np.sum(self.A[i,:] * self.B[:,X[j]] * beta[j])
return alpha, beta
if __name__ == "__main__":
import matplotlib.pyplot as plt
def triangle_data(T): # 生成三角波形状的序列
data = []
for x in range(T):
x = x % 6
data.append(x if x <= 3 else 6-x)
return data
data = np.array(triangle_data(30))
hmm = HMM(10, 4)
hmm.fit(data) # 先根据给定数据反推参数
gen_obs = hmm.generate(30) # 再根据学习的参数生成数据
x = np.arange(30)
plt.scatter(x, gen_obs, marker='*', color='r')
plt.plot(x, data, color='g')
plt.show()
上面的代码，使用最开始的栗子无法收敛，或者收敛到坑里（公式和书上《统计学习方法》是一样的），但是使用别人的例子又能很好的工作。调了一晚上后我觉得还是把它贴上来算了，希望大神发现了问题所在能告知一下。
预测算法
最后一个问题了，解决这个问题的算法叫做维特比（Viterbi）算法。实际上它是一个动态规划求解最优路径的算法，这里的最优路径不过就是对应成最大概率而已，比前面两个问题容易解决得多。直接上例子，如下图所示：
如果
，那么最优路径（索引）自然就是
接着，假设还有
，末端的计算自然还是一样
问题在于从
如何计算最大概率
然后，又因为我们所求的是路径，所以还要记录最大概率所对应的索引值
举个具体的例子：
最后，就是回溯最优路径，因为已知
不多说了，上代码：
class HMM(object):
def decode(self, X):
T = len(X)
x = X[0]
delta = self.pi * self.B[:,x]
varphi = np.zeros((T, self.N), dtype=int)
path = [0] * T
for i in range(1, T):
delta = delta.reshape(-1,1) # 转成一列方便广播
tmp = delta * self.A
varphi[i,:] = np.argmax(tmp, axis=0)
delta = np.max(tmp, axis=0) * self.B[:,X[i]]
path[-1] = np.argmax(delta)
# 回溯最优路径
for i in range(T-1,0,-1):
path[i-1] = varphi[i,path[i]]
return path