方程组的几何解释 [MIT线代第一课PDF下载]

攻读鉴于之前MIT的线代笔记没有跟新完和很多童鞋希望pdf版本下载学习，这里我把相关资源放到github上并重新更新完，希望对大家学习有所帮助。

PDF下载地址与Github地址：

https://github.com/yizhen20133868/MIT-Linear-Algebra-Notes

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该笔记总结了我们在学习MIT线性代数课程的学习经验和过程。

课程顺序是按照麻省理工公开课的 Linear Algebra. 记录的学习笔记。

本笔记作者介绍： 丁坤博 东北大学本科生，推免至北京大学攻读硕士 覃立波 哈尔滨工业大学SCIR实验室在读博士生，导师车万翔老师

一、知识概要

本节开始，我们一起来学习线性代数的有关知识，首节我们从解方程谈起，学 习线性代数的应用之一就是求解复杂方程问题，本节核心之一即为从行图像与列 图像的角度解方程。

二．方程组的几何解释基础

2.1 二维的行图像

我们首先通过一个例子来从行图像角度求解方程：

系数矩阵(A)：将方程系数按行提取出来，构成一个矩阵

未知向量(x)：将方程未知数提取出来，按列构成一个向量。

向量(b) ：将等号右侧结果按列提取，构成一个向量

接下来我们通过行图像来求解这个方程：

所谓行图像，就是在系数矩阵上，一次取一行构成方程，在坐标系上作图。

和我们在初等数学中学习的作图求解方程的过程无异。

2.2 二维的列图像

接下来我们使用列图像求解此方程：

即寻找合适的 x，y 使得 x 倍的(2,-1) + y 倍的(-1,2)得到最终的向量(0,3)。在很 明显能看出来，1 倍(2,-1) + 2 倍(-1,2)即满足条件。反映在图像上，明显结果正确。

三.方程组的几何解释推广

3.1 高维行图像

如果绘制行图像，很明显这是一个三个平面相交得到一点，我们想直接看出 这个点的性质可谓是难上加难，比较靠谱的思路是先联立其中两个平面，使其相 交于一条直线，在研究这条直线与平面相交于哪个点，最后得到点坐标即为方程 的解。

这个求解过程对于三维来说或许还算合理，那四维呢？五维甚至更高维数 呢？直观上很难直接绘制更高维数的图像，这种行图像受到的限制也越来越多。

3.2 高维列图像

左侧是线性组合，右侧是合适的线性组合组成的结果，这样一来思路就清晰多 了，“寻找线性组合”成为了解题关键。

很明显这道题是一个特例，我们只需要取 x = 0，y = 0，z = 1。就得到了结 果，这在行图像之中并不明显。

当然，之所以我们更推荐使用列图像求解方程， 是因为这是一种更系统的求解方法，即寻找线性组合，而不用绘制每个行方程的 图像之后寻找那个很难看出来的点。

另外一个优势在于，如果我们改变最后的结果 b，例如本题中，

那么我们 2 −1 1 0 −3 4 −3 就重新寻找一个线性组合就够了，但是如果我们使用的是行图像呢？那意味着我 们要完全重画三个平面图像，就简便性来讲，两种方法高下立判。

另外，还要注意的一点是对任意的 b 是不是都能求解 Ax = b 这个矩阵方程呢？也就是对 3*3 的系数矩阵 A，其列的线性组合是不是都可以覆盖整个三维空间呢？对于我们举的这个例子来说，一定可以，还有我们上面 2*2 的那个例子，也可以 覆盖整个平面，但是有一些矩阵就是不行的，比如三个列向量本身就构成了一个 平面，那么这样的三个向量组合成的向量只能活动在这个平面上，肯定无法覆盖 2 −1 1 一个三维空间，

这三个向量就构

3.3 矩阵乘法

四、学习感悟

这部分内容是对线性代数概念的初涉，从解方程谈起，引进列空间的概念，可 以发现从列空间角度将求解方程变化为求列向量的线性组合，这个方式更加科学。介绍了矩阵乘法，这部分内容重在理解。