为什么我们更宠爱“随机”梯度下降？（SGD）

导读

特别声明：本文仅有的一点贡献就是用自己的理解翻译了 Leon Bottou 等人的论文 <Optimization Methods for Large-Scale Machine Learning>，初窥门径，才疏学浅，疏漏之处，望不吝指教。

引子

大家都知道，训练深度网络一般用的是 SGD （Stochastic Gradient Descent | 随机梯度下降）而不是 GD (Gradient Descent | 梯度下降)，但是有没有考虑过 SGD 为什么比 GD 更受大家宠爱，SGD 是如何在用较低的 Computational Complexity （一般可以大概理解成，达成目标需要计算 Gradient 的次数）的同时还能保证比较好的训练效果。

本文主要给出几个特殊的例子，给大家一个从直觉性，实验上和理论上认知，为什么有时候，相对于GD 我们更宠爱 SGD?

我们主要从以下三个方面，一起看一看 SGD 相对于 GD 的优势。

Prat I: 直觉上 ( Intuitive Motivation)

Prat II: 实验上 ( Practical Motivation )

Prat III: 理论上 （Theoretical Motivation）

背景知识

我们一般想要优化的函数形式如下

我们知道梯度下降每一次迭代都需要出所有的梯度，即每一次算n个梯度，进行下面的迭代

而随机梯度下降，每一次选一个

计算梯度，然后迭代

Part I: 直觉上 ( Intuitive Motivation)

结论是：相对于非随机算法，SGD 能更有效的利用信息，特别是信息比较冗余的时候。

Prat II: 实验上 ( Practical Motivation )

结论是：相对于非随机算法， SGD 在前期迭代效果卓越。

我直接截论文上面的图，大家观赏一下

L-BFGS是一种需要算所有梯度，还要拟合Hessian 的一个优化算法.。不过既然是要算 full gradient, 大家直接理解成一种像 GD 一样的非随机的算法吧。 x 轴可以看成计算的梯度的数量，y轴可以看成是和真实最小值的误差。（个人理解哈，可能有偏差，大家会个意呗，想精确了解的，自己去看看原论文呗~~）

比较上图可得，随机算法 SGD 前期每个 iteration 找到的迭代点，可以显著的接近最小值点。

这里又有一个特别好玩的小例子来解释为什么 SGD 前期表现好，后期就水了现象。

这是我最想翻译的部分！！其他可以跳过，这里要认真听了哈~~。

假设我们需要优化的函数全部是二次函数，形式如下

其中

是常数，并且满足

我们求导，令导数等于零得到

其实这就是一堆sample, 在平方距离公式下，离他们最近的点就是他们的均值。

结合我们的假设公式（2.2）我们得到，最小值点在0处，也就是

所以函数的最小值点在0处。我们现在看看 SGD 的表现，假设我们最开始的初始点在最左边，然后无论你选到那个二次函数的分支，沿着梯度，都能向靠近最小值点的方向移动。所以SGD 前期效率很高。

我们假设选中最左边那个

，举个例子。

而到了后期，我们的

足够靠近我们的最小值点

，那么单纯靠选择一个二次函数的导数方向移动，便不能达到很好的效果，时而远离最小值点 “0”，时而接近最小值点，我们的前进方向开始犹豫徘徊，这时候便需要计算更多的梯度信息来进行决策了。你看下图，选

会背离，选

会接近，就如同诗经《蒹葭》里面描述你追求你心爱的姑娘一样，溯洄从之，宛在水中央。 溯游从之，宛在水中坻。 朦朦胧胧不知方向，忽近忽远~~。这个时候你需要更多的信息了。

多好的例子啊！！！奇美无比~~~。

我突然意识到，随机梯度下降怎么和与女生相处那么相似。刚开始，离的远的时候，不经意间便能产生好感，慢慢靠近。等靠的近了，好感想转换成爱情的时候，便开始茫然失措，不知方向，忽远忽近~~。

忽近忽远后怎么办？

所以对于随机梯度下降，我其实不太清楚如何解决忽近忽远，但是如果想随机梯度下降收敛的比较好，我知道的方法有，一是采取递减的 stepsize，原理是什么我还没搞清楚，二就是 Variance reduction 的一些方法吧，比如采用更多的样本算梯度，或者用SAGA, SVRG这种方法吧。个人猜测，这些做法是不是为了解决忽近忽远的问题，其实我不太清楚，当个讨论题，希望有大牛能帮我们解答一下。

Prat III: 理论上 （Theoretical Motivation）

结论是：如果样本数量大，那么 SGD的Computational Complexity 依然有优势。

我们知道， GD 在强凸的情况下收敛速度是 Linear Convergence, 最差的情况下，至少需要迭代

次，才能达到

的精度，加上 GD 每一次需要计算 n 个梯度，所以总的 Computational Complexity 是

。

至于 SGD， 结论是 为了达到

, 在最差的情况下，我们需要迭代次数是

，但是因为 SGD 每一次就算一个梯度，所以它的 Computational Complexity 也是

。这些复杂度的证明我看看以后有时间写一下好了，当个小练习，但是不是今天的重点，故略去。

放在表格里面就是这样子的了

对比与 GD 的

，SGD 的

受所需的精度

的影响较大, 但是如果是在 Large Large Data 的设定下，n 会特别特别大， 这样 SGD 的Computational Complexity 依然是可以小于 GD 的Computational Complexity，换就换就是，如果n特别大，那么 SGD 在Computational Complexity 上依然有优势。

总结

好了总结一下， SGD 相比与 GD 优势如下：

Prat I: 相对于非随机算法，SGD 能更有效的利用信息，特别是信息比较冗余的时候。

Prat II: 相对于非随机算法， SGD 在前期迭代效果卓越。

Prat III: 如果样本数量大，那么 SGD的Computational Complexity 依然有优势。

以上三条，吹牛必背。

每日一题

下列哪个不属于CRF模型对于HMM和MEMM模型的优势（ ）

A、特征灵活

B、速度快

C、可容纳较多上下文信息

D、全局最优

正确答案：B

解析：

HMM模型是对转移概率和表现概率直接建模，统计共现概率。而MEMM模型是对转移概率和表现概率建立联合概率，统计时统计的是条件概率。CRF是在给定需要标记的观察序列的条件下，计算整个标记序列的联合概率分布，而不是在给定当前状态条件下，定义下一个状态的状态分布。MEMM容易陷入局部最优，是因为MEMM只在局部做归一化。CRF模型中，统计了全局概率，在做归一化时，考虑了数据在全局的分布，而不是仅仅在局部归一化，这样就解决了MEMM中的标记偏置的问题。

CRF没有HMM那样严格的独立性假设条件，因而可以容纳任意的上下文信息，特征设计灵活。CRF需要训练的参数更多，与MEMM和HMM相比，它存在训练代价大、复杂度高的缺点。

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