2D图像中点的旋转

2D图像中点的旋转

先从向量内积说起，向量a = (x1, y1)，b = (x2, y2)

a▪b = <a,b>= |a||b|cosθ = x1x2+ y1y2

几何表示

a.b = |a|cosθ|b|

如果b为单位向量，|b|=1，那么向量a,b的内积就是向量a在向量b方向上的投影

点的逆时针旋转可以看做是以原点为起点的向量绕原点逆时针旋转；更进一步，保持向量不动，让坐标轴顺时针旋转θ。

看看向量是如何在笛卡尔坐标系中表示的吧！

a = (x0, y0)其中的x0, y0是向量a在x轴和y轴上的投影长度。

同理，向量在新坐标系下的表示（x’, y’）是向量在新坐标轴上的投影

坐标轴旋转，新的坐标轴可以表示为 x1 = (cosθ, -sinθ), y1 = (sinθ, cosθ) 这里用单位向量表示，只是指示一下新坐标轴的方向而已。

假设向量a在与新坐标轴X1的夹角为φ，那么a在X1上的投影为<a,X1>也就是向量a与X1的点积，因为坐标轴X1为单位向量，所以点积即为投影长度。

同理<a, Y1>为向量在新坐标轴Y1上的投影长度，

于是x1cosθ-y1sinθ = x’

x1sinθ + y1cosθ=y’

写成矩阵相乘的形式

顺时针旋转可以同理求得，这里不在详述。

同样的思考方式可以应用在PCA理解上