算法学习-分治法-大整数乘法

基本问题

大整数乘法(C)请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算。 设X和Y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY。我们可以用小学所学的方法来设计一个计算乘积XY的算法，但是这样做计算步骤太多，显得效率较低。如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要作O(n^2)步运算才能求出乘积XY。

打问号处个人感觉有问题，不过乘法肯定是主要运算，移位操作一定小于 n(n-1)次，加法操作小于n(n-1)次， O( 3 n^2) = O( n^2).

下面我们用分治法来设计一个更有效的大整数乘积算法。 我们将n位的二进制整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位（为简单起见，假设n是2的幂），如图6-3所示。

省略了作标记处的运算过程 ， 关键是前一个的指数是 log4，后一个是 log3 = 1.59.

补充一些文字解释：

由此，X=A2^(n/2)+B，Y=C2^(n/2)+D。这样，X和Y的乘积为：

XY=(A2^(n/2)+B)(C2^(n/2)+D)=AC2^n+(AD+CB)2^(n/2)+BD （1）

如果按式（1）计算XY，则我们必须进行4次n/2位整数的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超过n位的整数加法（分别对应于式（1）中的加号），此外还要做2次移位（分别对应于式（1）中乘2n和乘2n/2）。所有这些加法和移位共用O（n）步运算。设T（n）是2个n位整数相乘所需的运算总数，则由式（1），我们有：

T(n) = O(1) n=1

4T(n/2)+O(n) n>1

由此可得T(n)=O(n2)。因此，用（1）式来计算X和Y的乘积并不比小学生的方法更有效。要想改进算法的计算复杂性，必须减少乘法次数。为此我们把XY写成另一种形式： XY=AC2^n+(((A-B)(D-C)+AC+BD)2^(n/2)+BD （2） 虽然，式（2）看起来比式（1）复杂些，但它仅需做3次n/2位整数的乘法（AC，BD和（A-B）（D-C）），6次加、减法和2次移位。由此可得：

T(n) = O(1) n=1

3T(n/2)+O(n) n>1

T(n)=O(nlog3) =O(n1.59)

代码实现

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http://blog.csdn.net/wangyangkobe/article/details/6447195

http://blog.csdn.net/louistech/article/details/8890717

JAVA版 http://blog.csdn.net/nizhou1/article/details/12710741

拓展思考

1、如果将一个大整数分成3段或4段做乘法，计算复杂性会发生会么变化呢?是否优于分成2段做的乘法？这个问题请大家自己考虑。

分的段数越多, 效率越低. 极端情况, 直接按位计算,相当于分为N段, 就回到了这个文章开始提出的原始算法了. (这个似乎与前文矛盾了，但是个人觉得这种解释是有道理的。)

快速傅里叶变换

请自行查阅

问题的一种演变