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力扣416——分割等和子集

这道题主要涉及的是动态规划,类似背包问题,主要还是需要找出状态转移方程,优化时可以考虑采用深度优先搜索。

原题

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

注意:

  1. 每个数组中的元素不会超过 100
  2. 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]

输出: true

解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]

输出: false

解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

原题url:https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/

解题

动态规划

针对这种问题,动态规划是最直接的思路。针对每一个数字,你都有两个选择:选、不选。我们的目标是为了让选出来的数字之和等于所有数字之和的一半。

这和0-1 背包问题很类似,我们可以利用二维表格 dp 解决,表格有len行、target+1列,这里len表示当前数字所处的数组下标,target表示所有数字之和(最大值为:所有数字之和的一半),target+1是表明数字之和从0开始。

接下来考虑状态定义状态转移方程

状态定义:dp[i][j]表示从原始数组的 [0, i] 这个子区间内挑选一些数,每个数只能用一次,使得这些数的和恰好等于 j。

状态转移方程:对于“0-1 背包问题”,就是考虑数字是否选择。

  1. 不选择 nums[i],如果在 [0, i - 1] 这个子区间内已经有一部分元素,使得它们的和为 j ,那么 dp[i][j] = true;
  2. 选择 nums[i],如果在 [0, i - 1] 这个子区间内就得找到一部分元素,使得它们的和为 j - nums[i],那么 dp[i][j] = true;
  3. 其余情况,dp[i][j] = false;

所以状态转移方程是:dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - nums[i]]

接下来我们看看代码:

public class Solution {

    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return false;
        }

        // 求所有数字之和
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }

        // 如果总和是奇数,就无法计算
        if ((sum & 1) == 1) {
            return false;
        }
        // 目标值:总和的一半
        int target = sum / 2;
        // 创建二维状态数组,行:物品索引,列:容量(包括 0)
        boolean[][] dp = new boolean[len][target + 1];

        // 先填表格第 0 行,第 1 个数只能让容积为它自己的背包恰好装满
        if (nums[0] <= target) {
            dp[0][nums[0]] = true;
        }

        // 再填表格后面几行
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j <= target; j++) {
                // 如果之前已经有总和为 j 的情况(这样不需要nums[i]),说明可以满足
                if (dp[i - 1][j] ||
                    // 如果当前的数字nums[i]刚好为j,说明可以满足
                    nums[i] == j ||
                    // 如果当前的数字nums[i]小于j,并且之前就有总和为(j - nums[i])的情况(这样加上nums[i]刚好满足j)
                    (nums[i] < j && dp[i - 1][j - nums[i]])) {
                    dp[i][j] = true;
                } else {
                    dp[i][j] = false;
                }
            }
        }
        return dp[len - 1][target];
    }
}

提交OK。

动态规划——优化

时间上的优化,其实可以提前结束,只要满足 target,就满足了总和一半的条件,可以直接结束,并不需要全部算完。

空间上的优化,其实只需要一维即可,因为只用了上一次的所有情况,并不需要所有。

接下来我们看看代码:

public class Solution {

    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return false;
        }

        // 求所有数字之和
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }

        // 如果总和是奇数,就无法计算
        if ((sum & 1) == 1) {
            return false;
        }
        // 目标值:总和的一半
        int target = sum / 2;
        // 创建一维数组
        boolean[] dp = new boolean[target + 1];
        dp[0] = true;
        // 记录第一个数字的情况
        if (nums[0] <= target) {
            dp[nums[0]] = true;
        }

        // 再填表格
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = target; nums[i] <= j; j--) {
                if (dp[target]) {
                    return true;
                }

                dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

提交OK。

深度优先搜索

和动态规划类似,只是换成了递归的写法。

针对一个数字选还是不选的问题,要求选择的数字之和达到一半,等价于不选择的数字之和也达到了一半。

只是针对剪枝,需要提供更多一些的情况:可以先从小到大排序,然后从大的一方开始找,这样可以快速失败,因为当超过一半之后,可以直接结束。

接下来看看代码:

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        // 求和
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        // 如果是奇数,说明不可平分
        if ((sum & 1) == 1) {
            return false;
        }
        // 求出一半应该是多少
        sum = sum >> 1;

        // 从小到大排序
        Arrays.sort(nums);
        // 从后向前添加
        return canPartition(nums, nums.length - 1, sum, sum);
    }

    public boolean canPartition(
        int[] nums,
        int index,
        int canIncrease,
        int canDecrease) {
        // 如果可以增加或者可以减少的量为0,说明已经达到一半,成功
        if (canIncrease == 0 || canDecrease == 0) {
            return true;
        }

        // 如果可以增加或者可以减少的量为0,说明已经超过一半,失败
        if (canIncrease < 0 || canDecrease < 0) {
            return false;
        }

        // 继续下一个,如果已经遍历完,则失败
        if (index < 0) {
            return false;
        }
        // 添加当前元素或者放弃当前元素
        return canPartition(nums, index - 1, canIncrease - nums[index], canDecrease) ||
            canPartition(nums, index - 1, canIncrease, canDecrease - nums[index]);
    }
}

提交OK,从时间上来看,比之前的动态规划更快。

总结

以上就是这道题目我的解答过程了,不知道大家是否理解了。这道题主要涉及的是动态规划,类似背包问题,主要还是需要找出状态转移方程,优化时可以考虑采用深度优先搜索。

本文分享自微信公众号 - 健程之道(JianJianCoder),作者:健健壮

原文出处及转载信息见文内详细说明,如有侵权,请联系 yunjia_community@tencent.com 删除。

原始发表时间:2020-02-04

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