因为想做一下文本自动摘要,文本自动摘要是NLP的重要应用,搜了一下,有一种TextRank的算法,可以做文本自动摘要。其算法思想来源于Google的PageRank,所以先把PageRank给了解一下。
我感觉说到PageRank,应该要提起马尔科夫链,因为PageRank在计算的过程中,和马尔科夫链转移是十分相似的,只是PageRank在马尔科夫链的转移上做了一些改动。
马尔科夫链的维基百科里是这么说的:
马尔可夫链是满足马尔可夫性质的随机变量序列
。即给出当前状态,将来状态和过去状态是相互独立的。从形式上看,如果两边的条件分布有定义(即如果
则
。
的可能值构成的可数集S叫做该链的“状态空间”。
形式定义好像有点复杂。我这里只想介绍自己所认识的马氏链,一个简单通俗易懂的马氏链。
假设有一个离散型随机变量
,表示的是当前社会中贫穷,中等和富有的人的概率,其初始分布是:
表示社会中贫穷的人占28%,中等的人占68%,富有的人占11%, 这是初始状态,可以想象成这是我们所处地球的第一代人
(那个时候就有贫富差距了),接下来第一代人要生小孩,形成第二代人
,这个叫做状态的转移,从
转移到
。怎么转移呢,这是有一个概率的:
父代\子代 | 儿子是穷人 | 儿子是中等 | 儿子是富人 |
---|---|---|---|
父亲是穷人 | 0.65 | 0.28 | 0.07 |
父亲是中等 | 0.15 | 0.67 | 0.18 |
父亲是富人 | 0.12 | 0.36 | 0.52 |
上述表格代表的是,父亲属于哪个阶级,那儿子属于某个阶级的概率。比如父亲是富人,儿子也是富人的概率是 0.52,这表示大概一半的富二代以后都会败光家产。所以根据以上表格,第二代
穷人的概率是
以上的计算过程实际上矩阵相乘,表格里的数据组成一个矩阵
叫做概率转移矩阵
以此类推,不断计算,不断状态转移,我们发现从第7代开始,就稳定不变了:
这不是偶然,从任意一个
的分布出发,经过概率转移矩阵,都会收敛到一个稳定的分布
,从
这个转移的链条就是马尔科夫链,它最终会收敛到稳定分布
,也就是
,至于为什么会这样,肯定是和状态转移矩阵有关,最终的稳定分布不是由初始状态
决定的,而是由转移矩阵
决定的,具体就不细究了。
总之,我们得出这样一个结论,如果有一个随机变量分布为
和状态转移矩阵
,随机变量分布的下一个状态
可以由上一个状态
乘以矩阵
得来,那么经过n步迭代,最终会得到一个不变的,平稳的分布。
PageRank 是谷歌搜索引擎的进行网页排名算法,它是把所有网页都构成一张图,每个网页是一个节点,如果一个网页中有链向其他网页的链接,那么就有一条有向边连接这两个点。 有了这张图可以干嘛吗?PageRank 认为,每条边都是一个投票动作,
是A在给B投票,B的权重就会增加。
举个例子就非常清楚了,假设互联网上一共就4个页面,全球几十亿网名,每天只能看这个4个web页面,这四个页面分别是A,B,C,D,其中B页面有两个超链接指向A,C,C中有1个超链接指向A,D中有三个超链接指向A。其画成一张图,就是这样的:
这里要清楚 PageRank 计算的值是什么,PageRank 计算的最终值,是每个网页被往点击浏览的概率,也就相当于权重。所以这还是一个离散型随机变量,
。一开始假设每个网页被浏览的概率都是相同的,每个页面被网民点击的概率都是0.25,
PageRank 的计算过程就和上面所说的马尔科夫链一样,初始状态
就是全球网民同时上网,每个网民每次都只点击一次网页,每个网页被访问的概率。那么状态2
就是全体网民开始点击浏览第二个网页时,每个网页被访问的概率。PageRank 也有一个概率转移矩阵
,而
就存在于上图中,其中
表i网页链向j的链接数除以i网页的所有外链数。 其实意思就是,当你访问到i网页的时候,有多大的概率访问j网页。所以对于某个特定的状态
,全体网民开始访问第n个网页,它是由上一个状态
全体网民访问到第n-1个网页,通过某种概率得来。这和上面的穷人,富人非常相似。我们计算A页面在第n次,也就是状态n的时候被访问的概率
所以
整个PageRank 计算直到得到平稳分布
,这就是最终每个网页被网民点击的概率,或者叫做权重,排名。
接下来咱们具体计算一下,上述四个页面A,B,C,D的最终权重是多少。我们写一段C++ 程序来模拟PageRank 的计算过程。
int main()
{
int n=4;
double d=0.85;
double a[4]={0.25,0.25,0.25,0.25};
double b[4][4]={{0,0,0,0},{1,0,1,0},{1,0,0,0},{1,1,1,0}};
double linkNums[4]={0,2,1,3};
printf("转移矩阵:\n");
double p[4][4];
for(int i=0;i<4;i++)
{
for(int j=0;j<4;j++)
{
p[i][j] = b[i][j]==0?0:b[i][j]/linkNums[i];
printf("%.3f ",p[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
printf("初始状态:\n");
for(int i=0;i<4;i++)
{
printf("%.3f ",a[i]);
}
printf("\n");
double c[4];
int i=0;
int pos=0;
while(1)
{
for(int i=0;i<4;i++) {
double x=0;
for (int j = 0; j < 4; j++) {
x+=a[j]*b[j][i];
}
c[i]=x;
//c[i]=1.0*(1-d)/n + d*x;
}
int tag=0;
for(int i=0;i<4;i++) {
if(a[i] != c[i])
{
tag=1;
a[i]=c[i];
}
}
pos++;
printf("状态%d :\n",pos);
for(int i=0;i<4;i++)
{
printf("%.3f ",a[i]);
}
printf("\n");
printf("\n");
if(tag==0)
break;
}
}
其中p是转移矩阵,a是我们要求的随机变量的分布。 运行结果如下
转移矩阵:
0.000 0.000 0.000 0.000
0.500 0.000 0.500 0.000
1.000 0.000 0.000 0.000
0.333 0.333 0.333 0.000
初始状态:
0.250 0.250 0.250 0.250
状态1 :
0.750 0.250 0.500 0.000
状态2 :
0.750 0.000 0.250 0.000
状态3 :
0.250 0.000 0.000 0.000
状态4 :
0.000 0.000 0.000 0.000
状态5 :
0.000 0.000 0.000 0.000
我们发现,到最后的平稳分布居然是
,为什么会发生这样的情况呢?因为D这个网页,没有任何网页链接到它,所以在转移的过程中,它的下一个状态肯定为0,又因为D变成0了,所以影响到它所链接的网页,最终会导致所有网页的概率值都变成0。
为了避免这样的情况,PageRank 引入了一个阻尼系数d和随机访问的概念 ,d是一个概率值在0-1之间,这个d的物理意义是当你浏览到一个网页的时候,继续点击网页中的链接浏览下一个网页的概率。那么1-d 表示的就是浏览到一个网页的时候,不通过网页中的链接,而是额外新开了一个窗口随机访问其他网页的概率。所以PageRank 认为访问网页,要么是通过网页中的链接点击,要么是随机访问。
有了这个阻尼系数d,原先图中的情况就发生变化了,每个网页,都有很多条隐形的边,指向所有其他的网页,这些隐形的边表示的是随机访问不通过链接点击。因此在计算A页面在第n次,也就是状态n的时候被访问的概率公式就要发生变化了
物理意义也很好了解,原先从别的网页通过链接点击过来的是有一定概率的,概率就是d。而从任意一个网页随机访问而来的概率是1/N,还要乘以1-d 。
因此
修改一下程序,再运行一下
转移矩阵:
0.000 0.000 0.000 0.000
0.500 0.000 0.500 0.000
1.000 0.000 0.000 0.000
0.333 0.333 0.333 0.000
初始状态:
0.250 0.250 0.250 0.250
状态1 :
0.675 0.250 0.463 0.038
状态2 :
0.675 0.069 0.282 0.038
状态3 :
0.368 0.069 0.128 0.038
状态4 :
0.237 0.069 0.128 0.038
状态5 :
0.237 0.069 0.128 0.038
最终四个网页的权重再第五步的时候就收敛了,可以看到A网页的权重是最高的,因为它被指向的链接是最多的。
我对 PageRank 算法的初步了解就这么多了,我觉得PageRank 也应该算是马尔科夫链的应用之一吧。
维基百科 :https://zh.wikipedia.org/wiki/PageRank LDA 数学八卦 PDF: http://bloglxm.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/lda-LDA%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AB%E5%8D%A6.pdf