具体数学-第13课（组合数各种性质）

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首先庆祝我自己顺利毕业了，忙完了毕业论文答辩一直在浪，所以上周的具体数学没有更新，现在补更一下，大家见谅。

首先这节课讲的基本都是组合数的相关性质，而且特别多，所以我就不在这里详细证明了，如果你们对某一个性质感兴趣，可以自己证明去。

性质1

首先将组合数推广到负数域，也就是底数为负数的情况：

证明可以从下降阶乘幂的定义直接得到。

性质2

由于

所以由性质1可得

性质3

这就说明了杨辉三角同一行的前面若干项交错和是可以求得的，但是它们的直接和是无法求出的。

性质4

证明可以通过令

将左边表示成递归式的形式，同理如果右边可以表示成相同的递归式，那么左右就相等了。

性质4看起来特别复杂，那么它有什么用呢？如果令

和

等于不同的值，那么就可以得到许多不同的恒等式。

性质5

令

可以得到

这其实就是性质3的特例。

性质6

令

可以得到

左边就是杨辉三角一行中左边一半的和，所以可以得到

性质7

这个公式可以形象理解为，从

个物品中取

个，再从这

个中取

个的方法数等于从

个物品中取

个，再从剩下的

个中取

个的方法数。证明的话直接用定义可证。

性质8

之前介绍了二项式系数，那么可以推广到任意

个未知数，它的展开式为

其中

性质9

范德蒙德卷积式：

很多公式都可以通过替换其中的一些变量推导得到：

例题1

最后详细求解一道组合题，其他的题目就不介绍了，可以去看具体数学英文版第173页。

求下面式子的闭形式解：

根据性质7，可以得到

所以

而

所以