【每日算法Day 72】谷歌面试题：又双叒叕是位运算，最详细的自动机推导过程

godweiyang

发布于 2020-03-24 11:12:29

3390

发布于 2020-03-24 11:12:29

文章被收录于专栏：算法码上来

题目链接

LeetCode 137. 只出现一次的数字 II[1]

题目描述

给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现了三次。找出那个只出现了一次的元素。

说明： 你的算法应该具有线性时间复杂度。你可以不使用额外空间来实现吗？

示例1

输入：
[2,2,3,2]
输出：
3

示例2

输入：
[0,1,0,1,0,1,99]
输出：
99

题解

逐位考虑

我们单独看二进制某一位，先不看单独的那个数，其他所有数字都出现了 3 次，所以那一位是 1 的个数一定是 3 的倍数。

再考虑这个出现一次的数，如果这一位是 1 ，那么这一位 1 的次数模 3 为 1 ，否则的话模 3 就是 0 。

那么就很简单了，统计一下有多少个数这一位上是 1 ，然后模 3 取余数，结果就是这个单独的数这一位上的值了。

遍历 32 位整数的每一位，就可以得到这个单独的数是多少了。

推广到一般情况： 如果其他数都出现了次，一个数出现了一次。那么如果是偶数，还是把所有的数异或起来就行了。如果是奇数，那么统计每一位是 1 的个数，然后模取余数就能得到那个单独的数了。

位运算

我们还可以用自动机来做这题，根据某一位 1 的个数，我们可以得到如下的状态自动机：

初始的时候在状态 0 （有 0 个 1），然后如果下一个数这一位是 1，就进入状态 1（有 1 个 1），接着如果下一个数这一位是 1，就进入状态 2（有 2 个 1），接着如果下一个数这一位是 1，就进入状态 3（有 3 个 1），最后如果再来了一个数这一位还是 1，就说明是一个新的数了，等价于回到了状态 1。而每个状态如果来的数这一位是 0 ，都会保持状态不变。

当然这个自动机还可以简化，注意观察可以发现状态 3 和状态 0 是等价的（输入 0 都保持不变，输入 1 都会进入状态 1）。所以我们将状态 1 和状态 3 合并为一个状态 0 ，得到如下的状态自动机：

因为一共有三个状态，所以我们需要用两个变量来表示状态。用 once 表示是否在状态 1，用 twice 来表示是否在状态 2 。那么两个变量都为 0 就表示在状态 0 。然后可以得到如下的状态转移表：

注意观察 once 只有两种情况下转移后为 1 。一种是 once=0, twice=0, x=1 ，另一种是 once=1, twice=0, x=0 。其他所有情况下 once 都转移为 0 。这两种情况都满足 x^once=1 并且 twice=0 ，所以 once 的转移就是 once = (x^once) & (~twice) 。

同理，观察 twice 只有两种情况下转移后为 1 。一种是 once=1, twice=0, x=1 ，另一种是 once=0, twice=1, x=0 。其他所有情况下 twice 都转移为 0 。这两种情况都满足 x^twice=1 并且 once^twice=1 ，所以 twice 的转移就是 twice = (x^twice) & (once^twice) 。但是！！！once 已经抢先一步转移过了，所以值已经变掉了，一个解决方法就是用临时变量保存一下前一个状态的 once 值。另一个方法就是，这两种情况下，once 都会转移到 0 ，所以判断条件直接用转移后的 once=0 就行了，随后转移就是 twice = (x^twice) & (~once) 。

代码

逐位考虑（c++）（代码有误，正确代码见留言第一条）

class Solution {
public:
    vector<int> missingTwo(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int x = 0;
        for (auto i : nums) x ^= i;
        for (int i = 1; i <= n+2; ++i) x ^= i;
        int lb = x & -x;
        int y = 0;
        for (auto i : nums) {
            if (i&lb) y ^= i;
        }
        for (int i = 1; i <= n+2; ++i) {
            if (i&lb) y ^= i;
        }
        return {y, y^x};
    }
};

位运算（c++）

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int once = 0, twice = 0;
        for (auto x : nums) {
            once = (once^x)&(~twice);
            twice = (twice^x)&(~once);
        }
        return once;
    }
};