计蒜客 – 蒜头君的银行卡

上一期，长老向大家分享了一个跟 BFS 很像的、可以求解负环的单源最短路算法 SPFA，今天，让我们来看一下 SPFA 在求解差分约束系统时的力量吧。

如果一个不等式组由 个变量和 个约束条件组成，且每个约束条件都是形如 的不等式，则称其为差分约束系统 (system of difference constraints)。

差分约束系统是求解一组变量的不等式组的算法，是最短路的一类经典应用。

为什么说它是最短路的一类经典应用呢？第一眼看过去难道不是一个数学问题吗？实际上，我们在求解差分约束系统时，可以将其转化为图论中单源最短路（或最长路）问题。

在求解最短路问题时，我们经常写的一个不等式是 ，移项可得 ，这类似于不等式组中的 。所以我们可以理解成从顶点 到顶点 连一条权值为 的边，用最短路算法得到最短路的答案 ，也就求出了原不等式组的一个解。

因此我们可以将每个变量 作为一个顶点，对于约束条件 ，连接一条边权为 的有向边 <i, j> 。

连边有两种方式，第一种是连边后求最长路，第二种是连边后求最短路。

对于 ，若求最长路，则变形为 ，从 到 连一条权值为 的边；若求最短路，则变形为 ，从 到 连一条权值为 的边。

我们再增加一个超级源 ， 连向其余每个顶点，边权均为 。

对这个图执行单源最短路算法，如果程序正常结束，那么得到的最短路答案数组 d[i] 就是满足条件的一组解；若图中存在负环，则该不等式组无解。

考虑到差分约束系统的边权可能为负，我们套用前面介绍的 SPFA 算法可解决这个问题。

在学习了使用 SPFA 求解差分约束系统之后，让我们来看一道例题，“计蒜客”的“蒜头君的银行卡”。

虽然蒜头君并没有多少钱，但是蒜头君办了很多张银行卡，共有 张，以至于他自己都忘记了每张银行卡里有多少钱了。

他只记得一些含糊的信息，这些信息主要以下列三种形式描述：

1. 银行卡 比银行卡 至少多 元。
2. 银行卡 比银行卡 至多多 元。
3. 银行卡 和银行卡 里的存款一样多。

但是由于蒜头君的记忆有些差，他想知道是否存在一种情况，使得银行卡的存款情况和他记忆中的所有信息吻合。

输入格式

第一行输入两个整数 和 ，分别表示银行卡数目和蒜头君记忆中的信息的数目。

接下来 行：

• 如果每行第一个数是 ，接下来有三个整数 ，表示银行卡 比银行卡 至少多 元。
• 如果每行第一个数是 ，接下来有三个整数 ，表示银行卡 比银行卡 至多多 元。
• 如果每行第一个数是 ，接下来有两个整数 ，表示银行卡 和 里的存款一样多。

3 3
3 1 2
1 1 3 1
2 2 3 2

输出格式

如果存在某种情况与蒜头君的记忆吻合，输出 Yes，否则输出 No。

Yes

这道题唯一的难点在于将不等式的表达形式转换成图中的边，一旦正确地插入了边，那么直接套用 SPFA 的模板就可以了，不需要做任何其他的修改。

我们先来分析一下 和 中钱一样多的情况。若 ，则等价于 且 ，那么我们可以往图中插入一条从 到 的权重为 的边，以及一条从 到 的权重为 的边。

if (type == 3) {
 // (a == b) 等价于 (a <= b && b <= a)
 insert(a, b, 0);
 insert(b, a, 0);
}

若 比 至少多 元，那么有 ，移项得到 ，即 ，对照上面的公式可以发现，应该从 到 连一条权值为 的边，求最短路；类似地，若 比 至多多 元，那么 可得 ，从 到 连一条权值为 的边，求最短路。

if (type == 1) {
 // a 比 b 至少多 c 元：(a - b >= c) => (b - a <= -c) => (a + (-c) >= b)，从 a 到 b 连一条权值为 -c 的边，求最短路
 insert(a, b, -c);
} else {
 // a 比 b 至多多 c 元：(a - b <= c) => (a - c <= b) => (b + c >= a)，从 b 到 a 连一条权值为 c 的边，求最短路
 insert(b, a, c);
}

在正确插入所有的边以后，加上一个超级源：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    insert(0, i, 0); // 插入超级源，连向每一个点，权重为 0
}

并且在 SPFA 的模板中修改 cnt[v] == n 时的情况：

if (cnt[v] == n + 1) {
 // 因为加入了超级源点，所以一共是 n + 1 个点
 // 出现负环，不等式组无解
 printf("No");
 exit(0);
}

其余的部分均直接套用 SPFA 模板，模板代码可参见前一篇文章。

完整代码见：https://www.jxtxzzw.com/archives/5268[1]

参考资料

[1]

https://www.jxtxzzw.com/archives/5268: https://www.jxtxzzw.com/archives/5268