31. 镜头、曝光，以及对焦（上）

一、小孔相机的缺点

在29. 小孔相机中，我们知道了小孔相机的特点

它能使得真实物体透过小孔在屏幕上成一个倒像。而且我们知道，理想中的小孔具有无限小的尺寸。

然而真实的小孔总是具有一定的尺寸，由于光的波动性，如果小孔太小，那么会产生光的散射，导致成像的模糊，而且信噪比很低，导致图像的噪声较大。而相反，如果小孔太大，同一个像点的光会来自于多个物点，也会导致图像的模糊。所以只有在两者之间某个平衡的尺寸，才能让成像既比较清晰，又具有较低的噪声。

我们可以比较下不同尺寸小孔成像的结果，实际感受一下：

但是是上图中最清晰的).35mm小孔所成的像，也还是有较多噪声，不够清晰。有什么方法可以获得更好的成像呢? 答案就是我今天给你介绍的：使用镜头。通过使用镜头，能够将更多的光能集中到像平面上，提高信噪比，得到更清晰的像：

这是如何做到的呢？让我们先看看薄透镜模型。

二、薄透镜模型

薄透镜模型是一种简化的镜头模型，它是现实中设计非常良好的镜头组的模拟。它有两个关键的假设：

• 穿过光心的光线不受镜头影响，会直线传输

• 平行光穿过镜头后，会汇聚到焦平面上的一点上：

那么，如果一个物点发出了一束光，它们穿过薄透镜后的运动轨迹如何呢？

首先，穿过光心的光线会直线传播：

其他光线呢？有一种简易的方法来跟踪任意一条这样的光线：我们可以观察平行于它且过光心的光线的走向，它过光心，所以会直线传播，并在焦平面上成像，如下图所示：

接着我们就可以连接原来的光线和虚拟光线的像点，这样就知道原来那条光线的走向了：

来看看动图：

根据这种模型，当对焦完成后，从一个物点发出的光线通过透镜后会汇聚到焦平面的一点上，而从一个平行于镜头的平面上发出的所有点则会汇聚在同一个平面上：

如果已知物体的高度，怎么求像的高度呢？

可以很容易的利用相似三角形来求得：

根据上图，有

这样就可以得出

这里m是放大率

现在我们来看看一些特殊的情况，首先如果D' = f， 那么是什么情况？这意味着成像在焦点处，根据上式，m会是无穷大，D是无穷大。这意味着物体位于无穷远处，即无穷远处的物体通过透镜后会在焦点处成像。

另外一种情况是D'=D=2f，这时候m = 1。这意味着物体所成的像的尺寸和物体的尺寸一致：

三、景深

有了镜头，是不是对任何物体一定就可以得到比小孔相机更加清晰信噪比更高的像了呢？很可惜，并非如此。我们看看如下的例子：

这个树的位于同一个物距上的点确实可以成像在同一个像平面。但对于其他物距上的点，则不能对焦到同样的像平面上：

事实上，从物体上一点发出的光线通过透镜后，最终在像平面上会变成一个二维投影，如果镜头是圆形的，那么这个投影就是圆形的。我们通常称这个投影为模糊环（Circle of Confusion)。当恰好对焦时，模糊环的直径为0，那么我们看到的就是一个点。而当像平面不动，物点逐渐偏离可以恰好对焦的平面时，我们就会观察到像点逐渐变成了一个圆（或者其他镜头形状的投影）。注意这里由于人眼视力和感知的因素，当模糊环直径还没有超过某个阈值时，我们还认为投影是一个点，即成像还是清晰的，只有超过这个阈值时，成像才会变得模糊。这个阈值，我们称之为允许的最大模糊环，即Permissible Circle of Confusion，

允许的Coc尺寸受很多因素的影响，包括了观察者离像的距离，图像打印的材质，传感器的像元尺寸，人眼视力等等。有一个很好的网页列出了很多数码相机（包括数码单反）的数据：

Circles of Confusion for Digital Cameraswww.dofmaster.com

事实上，Wikipedia有关于CoC的计算公式：

总之，在一定的像距情况下，要想让一个物体清晰成像，它必须位于一定的范围内，这个范围我们就称之为景深。

景深的大致计算公式如下，其中N是F-number即光圈值，是焦距除以镜头的直径的结果，C是Permissible CoC, U是物距，f是焦距。

如果物体没有位于景深范围内，那么成像就会变得模糊，我们可以看一些典型的例子。

我们可以观察到，景深范围小时画面会显得模糊，而在景深范围内的物体则会显得更加突出。

而景深范围大时，画面会显得更加清晰

当拍摄距离很近时，画面背景的模糊感非常强，主体很突出。这种叫做微距拍摄。

有时候我们需要非常近距离的拍摄，例如拍摄昆虫的复眼，此时就需要非常特别的镜头。

根据景深计算公式，景深是和光圈值大小成线性关系的，光圈值越小，景深越小，反之越大。

与物距成二次方关系，所以物距越远，景深越大

和焦距的平方成反比，所以焦距越大，景深越浅。长焦镜头看到的图像背景更加的模糊。

有时候，人们会特意追求浅景深的效果，因为这样会使得画面主体更加突出，而背景则呈现出一种朦胧的美感，有一个源自日本的词Bokeh专门用于形容这种朦胧的美感。

现在很多手机用上了两个摄像头，甚至更多的摄像头。其中一个很重要的用途，就是用于拍摄这种"Bokeh"的相片。事实上，我所带的团队这几年所做的非常重要的功能就是手机上双摄和多摄的浅景深虚化功能，现在已经部署到了覆盖高中低端的数十款机型上（王婆卖瓜一番，相关的知识留待以后专门撰文阐述吧?）。

DXO Mark， Iphone 11 Pro Max Bokeh评测图片

四、真实镜头的缺点

薄透镜模型的两个基础假设可以推导出要求透镜没有厚度，但这事实上是不可能的。为了让真实的透镜像薄透镜一样，一般是需要把多个镜头组合到一起，互相补充，从而形成一个透镜组。

不管是单反上的复杂的镜头，还是手机等便携式设备上的镜头，都是透镜组。

我们来看看真实镜头相比理想的薄透镜的一些典型的不一致的地方：

1. 色差（chromatic aberration）

这是由于镜头对不同波长的光线具有不同的折射率, 因此会产生色差。色差主要有两种，一种叫做纵向色差( longitudinal (axial) chromatic aberration)，这是由于光线穿过透镜后无法对焦到同一平面上。

将两片不同材质的镜头组合到一起，能一定程度减弱这种现象（一般来说无法完全消除）

还有一种是横向色差(lateral (transverse) chromatic aberration)，产生的原因是蓝色光和红色光在同一像平面上位置不同，它们之间会有彩虹一样的色差：

这里可以看到对比效果：

2. 球差 (spherical aberration)

薄透镜模型中，假设平行与光轴的所有光穿过镜头后会对焦到一点。这其实是要求镜头的剖面是一个双曲线。但是实际上镜头并非双曲面，大多数是球面的，因此光线穿过后并非对焦到同一点，这就会导致画面的模糊。

当年哈勃望远镜就是因为镜头打磨误差2.2微米，导致了球差，使得拍出的画面很模糊。亏得后来NASA对它进行了一次外科手术，才使得它能够拍摄清晰的图像。你可以看看下面矫正前和校正后的对比图像：

事实上，实际镜头还有很多和理想的薄透镜不一致的地方，包括慧差(Coma）, 散光(Astigmatism)，场曲率( Field curvature), 畸变(distortion)， 眩光(glare)， 鬼影(Flare and Ghost)，晕影(Vignetting)等等。考虑到本文篇幅有限，我准备之后单独写文章来阐述，这里就先跳过啦。

五、总结

这篇文章是"镜头，曝光于对焦"的第一部分。我向你展示了采用镜头而非小孔成像的必要性，也展示了理想的薄透镜模型的一些特点，包括薄透镜模型的几何关系，景深以及影响景深大小的典型因素，真实镜头和薄透镜模型不同的地方。在下一篇文章中，我会继续介绍镜头的FOV，各种相机镜头类型，曝光控制的三个约束要素，远心相机等。敬请期待，希望你喜欢这篇文章，别忘了给我点赞哦！

六、参考资料

今天的文章主要参考两份资料：

1. CMU 2017 Fall Computational Photography Course 15-463, Lecture 15
2. Stanford 2010 Winter Computational photography CS 448A, Limitations of lenses

中间使用了两幅其他链接的图片：

1. 小孔尺寸对成像效果的影响
2. DXO Mark， Iphone 11 Pro Max Bokeh评测图片