杨辉三角

可定

发布于 2020-04-20 14:55:21

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发布于 2020-04-20 14:55:21

杨辉三角，又称帕斯卡三角。先简单说以下主要的内容:

好的，就像下面这个，就是一个杨辉三角。

第一行，就是（a+b）0 = 1a0b0  = 1
第二行，就是（a+b）1 = 1a1b0 + 1a0b1
第三行，就是 (a+b)2  = 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2
第四行，就是（a+b）3  = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 +1a0b3
第五行，就是（a+b）4  = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b4
第六行，就是（a+b）5  = ……

为什么（a+b）n是可以用杨辉三角来化简的呢？

   从上面的三角形不难看出，其实从第三行起，中间的数都是上面两数相加所得之和。

   再从上文中所写下的规律(就是{第一行，（a+b）0 = …}{第二行，…}…这个)中可以发现，每一行的下一行的最左侧a的指数都比上一行要多1而b的指数不变。（注意：这一点很重要，关系到其原理）。

那么上面的四个化开来就是 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 +1a0b3；而下面的4个则是1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b4。由多项式的乘法可知，多项式乘多项式只是把多项式的每一项与另一多项式相乘再相加（废话），而1，3，3，1这一层整体是1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 +1a0b3，想让它由4变成5，显然需要再乘一个（a+b）。那么，也就是说，下面的1，4，6，4，1所具有的代数式是由上面的1，3，3，1所具有的代数式的每一项乘（a+b）所得到的。想要知道究竟是几，我们先仅仅来看

这一项1。我们可以只到，上面的数字其实是代表了1a3b0。把它乘（a+b）就是先乘a把此代数式的a的指数加一，就有了1a4b0，汇总到下面{1，4，6，4，1}中左数第一个的1中来，再乘b把此代数式的b的指数加一，就有了1a3b1，汇总到下面的{1，4，6，4，1}中左数第二个的4中来。但是这显然还不够{1，4，6，4，1}中的4应该代表4a3b1可现在只有1 a4b0呀！还有的3从右上角来-即是{1，3，3，1}中3所代表的3a2b1，乘（a+b）中的a，所得3a3b1因而合并同类项，得到了4a3b1，其它的依此类推即可。这儿用举例来说明，但同样的其实也可以用字母来代表、说明，笔者之所以如此写只是为了方便理解。上文所讲的也就是杨辉三角之所以下面的数是上面左右两数之和的原因了。那如果再使用字母的角度来观其原因，只需如此想：

若第x层的某两数为panbx-n和qan-1bx-n+1,注1（p，q均为系数）由panbx-n乘（a+b），分别相乘，乘a的一部分汇总到左边，此处不予讨论，乘b的一部分得到panbx-n+1；而qan-1bx-n+1乘（a+b），乘b的一部分汇总到右边不予讨论，乘a的一部分得到qanbx-n+1，不难发现，panbx-n+1与 qanbx-n+1仅仅是系数不同，合并后就得到（p+q）anbx-n+1，得到下层