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使用傅里叶变换进行图像边缘检测

今天我们介绍通过傅里叶变换求得图像的边缘

什么是傅立叶变换?

简单来说,傅里叶变换是将输入的信号分解成指定样式的构造块。例如,首先通过叠加具有不同频率的两个或更多个正弦函数而生成信号f(x),之后,仅查看f(x)的图像缺无法了解使用哪种或多少原始函数来生成f(x)。

这就是傅立叶变换最神奇的地方。将f(x)函数通过一个傅立叶变换器,我们就可以得到一个新的函数F(x)。F(x)的是最初生成f(x)函数的频率图。因此,通过查看F(x)我们就可以得到用于生成f(x)函数的原始频率。实际上,傅立叶变换可以揭示信号的重要特征,即其频率分量。

例如下图,该图中有f(x)函数合成时的两个不同频率的原函数和对应的傅里叶变换结果F(x)。

生成该图片的代码如下:

Fs = 150.0; #采样率
Ts = 1.0 / Fs; #采样间隔
t = np.arange(0,1,Ts)#时间向量
ff1 = 5; #信号频率1 
ff2 = 10; #信号2的频率
y = np.sin(2 * np.pi * ff1 * t)+ np.sin(3 * np.pi * ff2 * t)

从图中可以看出,由于原始函数是由两个不同频率的输入函数组成的,因此经过傅立叶变换后的相应频率图显示了两个不同频率的尖峰。

这是对傅立叶变换的比较简单的解释。它是一个非常复杂但非常有用的功能,在数学,物理和计算机视觉中得到了广泛的应用。

图像处理中的傅立叶变换

现在我们知道了傅里叶变换对信号处理的作用。它将输入信号从时域转换到频域。

但是它在图像处理中有什么用?它将输入图像从空间域转换为频域。换句话说,如果要在进行傅立叶变换后绘制图像,我们将看到的只是高频和低频的频谱图。高频偏向图像中心,而低频偏向周围。具体形式如下图所示。

上面对图像进行傅里叶变换的结果可以通过如下代码实现:

import numpy as np 
import cv2 from matplotlib 
import pyplot as plt 
img = cv2.imread('scenery.jpg', 0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft) magnitude_spectrum = 20 *    np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1])) 
plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, cmap='gray') 
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('After FFT'), plt.xticks([]), plt.yticks([])

现在我们可以对图像进行FFT(快速傅里叶变换)变换了,并且可以使用转换后的结果进行多种操作:

  • 边缘检测—使用高通滤波器或带通滤波器
  • 降噪—使用低通滤波器
  • 图像模糊-使用低通滤镜
  • 特征提取(在某些情况下)-过滤器和其他一些openCV工具的混合搭配

HPF滤波器

如前所述,在经过FFT变换的图像中,在中心处发现低频,而在周围散布了高频,我们可以创建一个掩码数组,该掩码数组的中心是一个圆,其余全部为零。当将此掩码数组作用于原始图像时,所得图像将仅具有低频。由于高频对应于空间域中的边缘,这样就可以实现图像中的边缘检测。这个掩码数组就时HPF滤波器。

我们可以通过如下代码生成HPF滤波器

mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8) 
r = 80 center = [crow, ccol] 
x, y = np.ogrid[:rows, :cols] 
mask_area = (x - center[0]) ** 2 + (y - center[1]) ** 2 <= r*r

尽管可以选择使用多种类型的过滤器,但是主要使用三种类型的过滤器:

  • 高通滤波器(HPF)
  • 低通滤波器(LPF)
  • 带通滤波器(BPF)

使用openCV和NumPy的高通滤波器进行边缘检测

在计算机视觉领域中,检测图像边缘非常有用。一旦我们可以提取图像中的边缘,就可以将该知识用于特征提取或模式检测。

图像中的边缘通常由高频组成。因此,在对图像进行FFT(快速傅立叶变换)后,我们需要对FFT变换后的图像应用高通滤波器。该滤波器会阻止所有低频,仅允许高频通过。最后,我们对经过了滤波器的图像进行逆FFT,就会得到原始图像中一些明显的边缘特征。

接下来,我们使用汽车的图像进行此实验,这个过程的代码如下所示:

rows, cols = img.shape 
crow, ccol = int(rows / 2), int(cols / 2) # center 
# Circular HPF mask, center circle is 0, remaining all ones 
mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8) 
r = 80 center = [crow, ccol] 
x, y = np.ogrid[:rows, :cols] 
mask_area = (x - center[0]) ** 2 + (y - center[1]) ** 2 <= r*r 
# apply mask and inverse DFT 
fshift = dft_shift * mask 
fshift_mask_mag = 2000 * np.log(cv2.magnitude(fshift[:, :, 0], fshift[:, :, 1])) 
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift) 
img_back = cv2.idft(f_ishift) 
img_back = cv2.magnitude(img_back[:, :, 0], img_back[:, :, 1])
plt.subplot(2, 2, 1), plt.imshow(img, cmap='gray') 
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(2, 2, 2), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray') plt.title('After FFT'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(2, 2, 3), plt.imshow(fshift_mask_mag, cmap='gray') plt.title('FFT + Mask'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(2, 2, 4), plt.imshow(img_back, cmap='gray') plt.title('After FFT Inverse'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

程序运行结果如下图所示:

可以看出,高通滤波器阻止了所有的低频信号,并且仅允许高频通过。由于边缘通常是由高频信号构成的,因此可以在最后的图像中找到原图像的边缘信息。

如果对傅里叶变换感兴趣,可以观看如下两个视频:

https://www.youtube.com/channel/UCYO_jab_esuFRV4b17AJtAw

https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=r18Gi8lSkfM

原文地址:https://medium.com/@akshaysin_86681/edge-detection-in-images-using-fourier-transform-2b2e3a7491b9

作者:akshay sinha

本文分享自微信公众号 - AI算法修炼营(AI_SuanFa),作者:小白

原文出处及转载信息见文内详细说明,如有侵权,请联系 yunjia_community@tencent.com 删除。

原始发表时间:2020-04-14

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