Python 刷题笔记：一道简单级的动态规划题

今天翻看了关于时间复杂度、空间复杂度的文章和视频，对其认知加深了些，之后也要养成分析复杂度的习惯，顺手添加，大家如果看到我写错的还望予以纠正。

同时，今儿还遇到句值得反思的话：“珍惜你所遇见的每一道题”。目前刷题 41 天，LeetCode 上题目刷了 80 道。但如果让我重新再做，应该有不少题目还是搞不定，甚至会出现之前做出来、现在看却没思路的情况。此外，之前有些简单题目是利用 Python 取巧通关，绕开了题目本身关联的算法设计，使得做题纯粹变成了做任务，白白浪费练习算法、加深理解的机会。

所以，认真对待遇到的每一个题目，整理、理解、吃透它，这样自己花费在其中的时间才会发挥最大价值。

回归到题目，今儿仍是动态规划的题目，题目确实简单级别——这道题之前我通过分情况考虑，设计了一套复杂解法，与接下来要整理的动态规划可谓鲜明对比。

题目

「第 53 题：最大子序和」

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

题目分析

先说下我之前的复杂思路：因为数组中可能有正有负，先将连续正、或连续负的数合并，这样列表如果全正、最大和为数组和；如果列表全负、最大和为最大的单项值；如果有正有负、合并后就会正负相间，通过比较相邻正负相加后的结果来判断是否计入最大和中。

听着很绕，实施起来也不简单，费白天功夫、通过各种特例补全了整个代码思路。接下来我们对比看下动态规划的设计。

首先要设计状态，dp [ i ] 我们定义为以数组 nums [ i ] 结尾的连续子数组的最大和——可能我们会有疑问，这个状态怎么找的？注意，动态规划最关键的就是找准状态和状态转移方程，如何找准这个要么凭理论分析、要么就是多做题积累经验。这也是我们翻看很多讲解、分析老是说动态规划不难、很简单的原因：因为人家的积累和经验在那摆着，见怪不怪了，对于刚接触这类题型的我们就好奇宝宝似的满脑袋问号。如果还记得昨天做过的背包问题，也是定义了类似在 i 位置的背包最大价值，这里定义要以 i 位置结尾的子数组，就是为了可以和 dp [ i-1 ] 建立直接联系。

有了上面的状态定义，找状态转移方程就会轻松些，在计算 dp[ i ] 时，我们可以拿到的有以 nums[i-1] 项结尾的子数组的最大和 dp[i-1] 和 nums[ i ]。根据状态定义，以 nums[i] 结尾的子数组，那么计算和一定有 nums[i] 参与，再看之前的项，倘若 dp[i-1] 为负，那么最大和就不必添加这部分；但如果其为正，则将其加入进来即可。完毕~

是的，这就完事了，上代码。

代码实现

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        # 对单项数组单独处理
        if n==1:
            return nums[0]

        # dp[i] 为以 nums[i] 结尾的连续子数组最大和
        dp = [0]*n
        # 初始化 dp 数组为 n 个 0 的列表
        dp[0] = nums[0]
    
        # 遍历每一位
        for i in range(1,n):
          # dp[i-1]即以 nums[i-1] 结尾的子数组最大和
          # 如果 dp[i-1] 非正，则不加
            if dp[i-1]<=0:
                dp[i] = nums[i]
            # 如果正，则加起来
            else:
                dp[i] = dp[i-1]+nums[i]
        # 返回 dp 记录列表的最大值
        return max(dp)

因为我们通过对 n 位数组的一次遍历建立了所谓的状态列表，最后执行了次求最大值运输，整体时间复杂度与 n 成线性关系，即 O(n) 时间复杂度；在整个过程中，额外建立了 dp 这个长度为 n 的数组或列表，空间复杂度也为 O(n)。

提交测试表现：

执行用时 : 44 ms, 在所有 Python3 提交中击败了 89.29% 的用户
内存消耗 : 14.8 MB, 在所有 Python3 提交中击败了 6.35% 的用户

后记

这道题的复杂解法是几天前费大工夫写的，当时题目通过了就没理了；今天按动态规划标签翻到这道简单题目，对当时的解法半天才反应过来，又花费好长时间想动态规划的解法却一直没能找到准确的状态。当看到题解里对此状态的定义时，豁然开朗。

是的，虽然我记录了整篇，但下次遇到时，却又不能保证一定记得，真是可惜。所以，珍惜这些遇到过的题目，时不时翻看怀念它们一下吧。在接下来刷题的道路上，我也要更看重质量和算法设计，忽略浮于表面的题目难度、数量、速度这些概念了。

本来写题记的，结果啰嗦一大堆，哈哈~