导数与微分 一、导数与微分的基本概念 1. 函数在一点$x_{0}$处的导数定义 . 如果极限
\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x} 存在，则称函数
$ y =f(x) $ 在 $ x=x_{0} $ 处可导 \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup x}{\bigtriangleup y} \exists \to \frac{在一点处可导，则在该点处必连续}{几何意义：f’(x_{0})} \lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \exists \iff f’(x_{0}) \exists \iff f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0}) f’(x)=\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x_{0} + \bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x} 2. 单侧导数 右导数：
f’_{+}(x) = \lim_{x \to x^{+}_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = \lim_{x \to x^{+}_{0}} \frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x} 左导数：
f’_{-}(x) = \lim_{x \to x^{-}_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = \lim_{x \to x^{-}_{0}} \frac{f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0})}{\bigtriangleup x} 3. 可导的充要条件 f(x) 在点x_{0} 处可导 \iff f(x)在点x_{0} 处左、右导数皆存在且相等。
4. 区间可导 如果函数y=f(x) 在开区间 (a,b) 内的每一点都可导，则称f(x) 在(a,b) 内可导。如果y=f(x) 在开区间内可导，在区间左端点a 处右导数存在，在区间右端点b 处左导数存在，则称y=f(x) 在闭区间[a,b] 上可导。
5. 高阶导数定义 若函数y=f(x) 在导数y’=f’(x) 在点x_{0} 处仍是可导的，则把y’=f’(x) 在点x_{0} 处的导数成为y=f(x) 在点x_{0} 处的二阶导数，记作y’’|_{x=x_{0}} 或 f’’(X_{0}) 或 \frac{d^{2}y}{dx^{2}|_{x=x_{0}}} ，也称f(x) 在点x_{0} 处二阶可导。类似的，y=f(x) 的n-1 阶导数的导数，成为y=f(x) 的 n 阶导数，记为y^{(n)} 或 f^{(n)}(x) 或 \frac{d^{n}y}{dx^{n}} ，这时也称函数 y=f(x) n 阶可导。
6. 导数的几何意义与物理意义 处的切线方程为：
y=f(x_{0}) = f’(x_{0})(x-x_{0}) 法线方程为：
y-f(x_0) = -\frac{1}{f’(x_{0})}(x-x_{0}) (f’(x_0) \ne 0) 注：导数概念是函数变化率概念的精确描述。任何变化率的极限问题都可以用导数来研究，比如物体作直线运动时，路程S 与时间t 的函数关系为S=f(t) ，如果f’(t_{0}) 存在，则f’(t_{0}) 表示物体在时刻t_{0} 时的瞬时速度。
7. 微分的定义 设函数y=f(x) 在点x_{0} 的某邻域内有定义（点x_0 以及 x_{0}+\bigtriangleup x 都在该领域内），如果函数增量\bigtriangleup y = f(x_{0}+\bigtriangleup x) - f(x_{0}) 可表示为\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x) （A\bigtriangleup x 部分被称为线性主部），其中A 是不依赖于\bigtriangleup x 的常数，则称函数y=f(x) 在点x_{0} 处可微，而A\bigtriangleup x 称为函数y=f(x) 在x_{0} 处相应于自变量增量\bigtriangleup x 的微分，记作dy 即 dy=A\bigtriangleup x .
证明：
\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x) \iff \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} 可微 可导已知
\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x) 从而
\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x} = A 可微已知
\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = A 由极限与无穷小关系知，存在一个\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = A+\alpha (x) \Rightarrow \bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + \bigtriangleup x \alpha (x)
$又\because \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup x \alpha(x)}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \alpha(x) = 0 故：\bigtriangleup x \bullet \alpha(x) = o(\bigtriangleup x) 从而：\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x) 即y=f(x)在x=x_{0}点处可微 注：一元函数可微与可导的关系f(x) 在 x_{0} 处可微 \iff f(x) 在 x_{0} 处可导且 dy|_{x=x_{0}} = A(x_{0})\bigtriangleup x = f’(x_{0})dx 。若y=f(x) ，则 dy=f’(x)dx 。导数 f’(x)=\frac{dy}{dx} 也称为微商，就是微分之商的含义。易知 dx=\bigtriangleup x
8. 微分的几何意义 如果说\bigtriangleup y = f(x_{0}+\bigtriangleup x)-f(x_{0}) 是曲线 y=f(x) 在点 x_{0} 处相应于自变量增量 \bigtriangleup x 的纵坐标 f(x_{0}) 的增量，那么微分dy|_{x=x_{0}} 是曲线 y=f(x) 在点 M_{0}(x_{0},f(x_{0})) 处切线的纵坐标相应的增量。
9. 一阶微分的形式不变性 若y=f(u) ，则dy=f’(u)du ，这里u 不论是自变量还是中间变量微分形式都不变，即函数的微分等于函数对变量求导乘以该变量的微分。
题型 题型一 ：判断 $ f’(X_{0}) $ 是否存在（可导） 若极限组成为一点处可导的定义式
必须有该点处的函数值 左导 = 右导 题型二：求 $ f’(x_{0}) $ 法一：定义法
法二：用导函数
直接带入 转定义 导函数极限存在定理：指可导函数与该点处函数值关系
补：导函数极限存在定理 y=f(x) 在 x_{0}处连续 \lim_{x \to x_{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’(x_{0}) \exists 且 f’(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}} f’(x) \lim_{x \to x_{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’_{+}(x_{0}) \exists 且 f’_{+}(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}} f’(x) \lim_{x \to x_{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’_{-}(x_{0}) \exists 且 f’_{-}(x_{0})=\lim_{x \to x_{0}} f’(x) 题型三：已知可导，求相关极限（“凑”可导定义） ，则：
\lim_{h \to 0} \frac{ f(x_{0} + ah) - f(x_{0} + bh) }{h} = \lim_{h \to 0} \frac {(x_{0}+ah) - (x_{0}+bh)}{h} \bullet f’(x_0) = (a-b)f’(x_{0}) 题型四：会求切线（法线） 注：若切点未知，先求切点，再求切线。
(e^{x})’ = e^{x}
$ f’(x) = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x} 证：
(e^{x})’ = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x+\bigtriangleup x}-e^{x}}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x}(e^{\bigtriangleup x}-1)}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x}(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x} = e^{x} 二、导数与微分的计算 1. 常数与基本初等函数的求导公式 (C)’ = 0 (x^{u})=ux^{u-1} (sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx (tanx)’=sec^{2}x (cotx)’=-csc^{2}x (secx)’=tanxsecx (cscx)’=-cotxcscx (a^{x})’=a^{x}lna(a>0,a \not= 1) (e^{x})’=e^{x} (log_{a}x)’=\frac{1}{xlna}(a>0,a \not= 1) (lnx)’=\frac{1}{x} \Rightarrow [ln(-x)]’=\frac{1}{x} \Rightarrow [ln(|x|)]’=\frac{1}{x} (arcsinx)’=\frac{1}{\sqrt[2]{1-x^{2}}} (arccosx)’=-\frac{1}{\sqrt[2]{1-x^{2}}} (arctanx)’=\frac{1}{1+x^{2}} (arccotx)’=-\frac{1}{1+x^{2}} 注：
secx=\frac{1}{cosx} cscx=\frac{1}{sinx} 2. 函数的和差积商的求导、微分法则 [f(x) \pm g(x)]’ = f’(x) \pm g’(x), d[f(x) \pm g(x)] = df(x) \pm dg(x). [f(x) \bullet g(x)]’ = f’(x)g(x)+f(x)g’(x), d[f(x) \bullet g(x)] = g(x)df(x)+f(x)dg(x). \begin{bmatrix} \frac{ f(x) }{ g(x) } \end{bmatrix}’ = \frac{ f’(x)g(x)-f(x)g’(x) }{ g^{2}(x) } , d\begin{bmatrix} \frac{ f(x) }{ g(x) } \end{bmatrix} = \frac{ g(x)df(x)-f(x)dg(x) }{ g^{2}(x) } 注：后“,”改前“d”，求导变微分。
3. 复合函数的导数（链式法则） 设y=f(u) ，u= \varphi (x) ，如果\varphi (x) 在x 处可导，f(u) 在对应点u 处可导，则复合函数y=f[ \varphi (x)] 在x 处可导，且有\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = f’[\varphi (x)]\varphi’ (x)
注：{f[\varphi (x)]}’ \not= f’[\varphi (x)] 注：复合函数求导法则：函数先对中间变量求导，中间变量对自变量求导。
4. 隐函数求导 设y=y(x) 由方程 F(x,y)=0 确定，求 y’ 的方法如下：对F(x,y)=0 两边关于自变量 x 求导，注意此时 y 是 x 的函数，故应该当作是中间变量用复合函数求导法则计算，最后解出 y’ 的表达式（表达式中允许出现 y ）。
方法总结
直接法 公式法 一阶微分形式不变性 5. 反函数求导 则
g’(y)= \frac{1}{f’(x)} = \frac{1}{f’[g(y)]},(f’(x) \not= 0) .
\left. \frac{{\rm d}x}{{\rm d}y} \right| _{y=y_{0}=y(x_{0})} = \frac{1}{ \left. \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \right| _{x=x_{0}} } 注：反函数的一阶和二阶导公式为x’= \frac{1}{y’} ，x’’= \frac{-y’’}{y’^{2}}x’= \frac{-y’’}{y’^{3}} .
考点 ：
一阶导公式会用 二阶导公式会证 证二阶导公式
\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy}) =\frac{d}{dy}(\frac{1}{\frac{dy}{dx}}) \frac{d}{dy}(\frac{1}{y’}) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{y’})\frac{dx}{dy} =(-1) \bullet (y’)^{-2} \bullet y’’ \bullet \frac{1}{y’} =-\frac{y’’}{y’^{3}} 注：微分是表达式
\left. dy \right| _{x=x_{0}} = y’(x_{0})dx dy=y’(x)dx Author: Frytea
Title: 【高2.1】函数与微分
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