写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候,发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式,而对于公式从何而来并没有给出说明。所以,本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下,从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。
学过高数的童鞋都听过傅立叶级数,下面直接给出定义,具体证明可以参考高等数学教材。
设周期为TTT的周期函数f(x)f(x)f(x)的傅立叶级数为
f(x)=a02+∑n=1∞(ancos2πnxT+bnsin2πnxT)(1)f(x) = \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{2\pi n x}{T}+b_{n} \sin \frac{2\pi n x}{T}\right) \tag{1}f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosT2πnx+bnsinT2πnx)(1)
其中,系数ana_nan和bnb_nbn分别为:
an=2T∫T2T2f(x)cos2πnxTdx(n=0,1,2,⋯ )bn=2T∫−T2T2f(x)sin2πnxTdx(n=1,2,3,⋯ )}(2)\left.\begin{array}{ll}{a_{n}=\frac{2}{T} \int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos \frac{2\pi n x}{T} \mathrm{d} x} & {(n=0,1,2, \cdots)} \\ {b_{n}=\frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin \frac{2\pi n x}{T} \mathrm{d} x} & {(n=1,2,3, \cdots)}\end{array}\right\} \tag{2}an=T2∫2T2Tf(x)cosT2πnxdxbn=T2∫−2T2Tf(x)sinT2πnxdx(n=0,1,2,⋯)(n=1,2,3,⋯)⎭⎬⎫(2)
利用欧拉公式cost=eti+e−ti2,sint=eti−e−ti2i\cos t=\frac{\mathrm{e}^{t \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{-t i}}{2}, \quad \sin t=\frac{\mathrm{e}^{t i}-\mathrm{e}^{-t i}}{2 \mathrm{i}}cost=2eti+e−ti,sint=2ieti−e−ti
可以将公式(1)转化为傅立叶级数的复数形式
f(x)=∑n=−∞∞cne2πnxTi(3)f(x) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{\frac{2\pi n x}{T} \mathrm{i}} \tag{3}f(x)=n=−∞∑∞cneT2πnxi(3)
系数cnc_ncn为
cn=1T∫−T2T2f(x)e−2πnxTidx(n=0,±1,±2,⋯ )(4)c_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \mathrm{e}^{-\frac{2\pi n x}{T} \mathrm{i}} \mathrm{d} x \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \tag{4}cn=T1∫−2T2Tf(x)e−T2πnxidx(n=0,±1,±2,⋯)(4)
傅立叶级数的两种形式本质上是一样的,但是复数形式比较简洁,而且只用一个算式计算系数。
傅立叶级数是针对周期函数的,为了可以处理非周期函数,需要傅立叶变换。
傅立叶变换将周期函数在一个周期内的部分无限延拓,即让周期趋紧于无穷,然后就得到了傅立叶变换,如下图所示。
图片来源:Fourier Transform 101 — Part 3: Fourier Transform
下面我们看一下,当周期TTT趋于∞\infty∞的时候,我们看一下公式(3)和(4)的变化。
令1T=Δω\frac{1}{T} = \Delta \omegaT1=Δω,则
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲f(x) &= \sum\li…
当T→∞T \to \inftyT→∞时,Δω→0\Delta \omega \to 0Δω→0,Δω→dω\Delta \omega \to \mathrm{d}\omegaΔω→dω ,dω\mathrm{d}\omegadω和ndωn \mathrm{d}\omegandω都成为连续的变量,记为ω\omegaω。
KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲f(x) &= \lim_{T…
对应于傅立叶级数,傅立叶变换可以表示为
F(ω)=∫−∞∞f(x)e−2πωxidx(5)F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi\omega x \mathrm{i}} \mathrm{d}x \tag{5}F(ω)=∫−∞∞f(x)e−2πωxidx(5)
而相应地傅立叶逆变换可以表示为
f(x)=∫−∞∞F(ω)e2πωxidω(6)f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}F(\omega) e^{2\pi\omega x \mathrm{i}}\mathrm{d}\omega \tag{6}f(x)=∫−∞∞F(ω)e2πωxidω(6)