自动控制理论笔记
- 经典控制理论
- 相关词汇
- 工程数学基础 1. 特征值,特征向量,过渡矩阵rightarrow矩阵对角化 2. 线性化 Linearization 3. 卷积与LTI冲激响应（LTI：linear time invariant system） 4. 欧拉公式Euler's Formula 5. 复数Complex Number 6. 阈值选取
- Advanced控制理论 稳定性 两种类型 判别方法 3. 不稳定 相图分析-phase-portrait 齐次状态方程解dot x = A x 非齐次状态方程dot x = A x + B u 线性系统可控性与可观测性 引理 状态反馈与状态观测器 状态观测器
- Kalman滤波器原理以及在matalb中的实现
经典控制理论
动态系统建模
通过配置系统输入u(t)，使u(s)G(s)的极点使系统满足一定特性
一阶系统特性
\(G(s) = \frac{a}{s+a}\) \(\frac{1}{a}\)是时间常数\(\tau\)，对应上升为0.63 \(4\tau\)对应阶跃响应0.98
二阶系统特性
\(m\ddot x+B\dot x+kx=F\) \(\ddot x+2\omega_n\xi \dot x+\omega_n^2x=\frac{F}{m}\)
阻尼比固有频率:\(\omega_n\sqrt{1-\xi^2}\)
单位化：\(u(t)=\frac{F}{\omega_n^2}\) \(H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}\)
零极点图： 极点全部在左，系统稳定 虚轴长度代表振荡周期 实轴长度代表衰减速度 \(\cos \theta\)代表阻尼比
SISO system稳定性判据
特征多项式系数判断传递函数稳定性
- Hurwitz霍尔维兹判据：构建霍尔维兹行列式，全部为正
\(D1 = a_1\)
\(D2 = \begin{pmatrix} a_1&a_3\\ a_0&a_2 \end{pmatrix}\)
\(D3 = \begin{pmatrix} a_{1}& a_{3}& a_{5}\\ a_{0}& a_{2}& a_{4}\\ 0& a_{1}& a_{3} \end{pmatrix}\)
- Lienard-Chipard林纳德-齐帕特判据：系数都大于零，奇数或偶数阶次行列式
- Routh劳斯判据： 求\(e_{ss}\)时顺序，1判断稳定性、2求E(s)，3应用终值定理\(e_{ss} = \lim \limits_{s\rightarrow0}sE(s)\)
- 频率稳定判据： H. Nyquist奈奎斯特判据，开环频率特性，判断闭环稳定性 \(F(s) = 1 +G(s)H(s)\)的p，极点，是开环传函极点 z零点，闭环传递函数的极点封闭曲线内\(R=P-Z\)
频率特性
- 只适用于线性定常模型，否则不能拉式变换
- 稳定条件下使用
- bode图单位用dB：20log(Mo/Mi)，表征了能量
- 幅值相应:magnitude response \(\frac{M_o}{M_i} = \left | G(j\omega)\right |\)
- 幅角响应:Phase response \(\phi_o-\phi_i = \angle G(j\omega)\)
- 带阻尼比的共振频率: \(\omega = \omega_n \sqrt{1-2\zeta^2}\\\) 此时的极值：\(\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\)
- 幅值裕度h：相位为-π时，幅值距0dB的差值 相位裕度\(\gamma\):幅值为1（0dB）时，相位距-π的差 根据幅相图，(0,0)出发为开环，(-1,0)出发为闭环
- 不同频段信息
- 低频段\(G(j\omega)\)反映了系统的稳态精度 0dB/sec->稳态精度
- 中频段：穿越0dB\(\omega_c\) 反映了系统的平稳性和快速性 -20dB/sec开环积分，闭环一阶，快速性 -40dB/sec开环双积分，闭环二阶，零阻尼，频率段不宜过宽，穿越频率取-20斜率
- 高频段反映了系统对高频干扰抑制能力
系统矫正
串联矫正
- 超前矫正 \(G_c(s)=\frac{1+aTs}{1+Ts},a>1\)
- 滞后矫正 \(G_c(s)=\frac{1+bTs}{1+Ts},b<1\)
- 滞后超前矫正 两个合起来
- PID矫正器
- 复合矫正 前置矫正：指令->Gc(s)->误差，一般补偿分母s，开环前向增益1 干扰前置补偿：干扰测量->Gc(s)->误差，误差->干扰端传函\(Gs^{-1}\)
根轨迹
（开环->闭环稳定性）:分析G(s)的N、P，看闭环系统稳定性 开环传递函数中开环增益K从0-无穷时，闭环特征根的移动轨迹 单位负反馈闭环传递函数 \(\phi(s) = \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}\) G(s)是一个
非线性系统
叠加原理不适用 常规分类： 死区 饱和 间隙-滞环
系统收敛：消耗系统能量 系统发散：从外界获取能量
相关词汇
\(X_{ss}(t)\):ss-steady state \(T_s\)Delay time \(T_r\)Rise time \(M_p\)Max Overshoot \(T_{ss}\)Setting time调节时间 BIBO:输入稳定，输出稳定bounded input-bounded output Real:实轴 Im：虚轴 Proportional：比例 Integral：积分 Differential：微分 bounded input-bounded output：稳定性 \(\forall\)for all ：任意 \(\exists\) at least one ：存在 \(\left \| \cdot \right \|\)norm：范数
工程数学基础
1. 特征值,特征向量,过渡矩阵\(\rightarrow\)矩阵对角化
特征值\(\lambda\)有\(\lambda v=Av\) \(\ | \lambda I-A\ | = 0\) 特征值 解法：将\(\lambda\)代回\(( \lambda I - A)* v = 0\) \(\lambda_1 、\lambda_2\)对应特征向量\(v_1 、v_2\) 过渡矩阵：特征向量组成的矩阵 \(P = \begin {pmatrix} v_1&v_2 \end {pmatrix}\) \(AP=A[v_1 v_2] = [Av_1 Av_2]=[\lambda_1v_1 \lambda_2 v_2]= \begin{bmatrix} \lambda_1v_{11} & \lambda_2v_{21}\\ \lambda_1v_{12} & \lambda_2v_{22} \end{bmatrix} =P\Lambda \) 所以有，单位向量矩阵P将A特征值对角化矩阵 \(P^-1AP = \Lambda\)
2. 线性化 Linearization
非线性：\(1/x,\sqrt{x},x^n等\)
- 用泰勒级数展开 在平衡点(Fixed point)\(x_0\)附近线性化
- 令导数项为0，求得平衡点x的值\(x=x_0\)
- 把\(x_\sigma = x_0 + x_d\)代入\(f(x_\sigma)=f(x_0)+f'(x_0)(x_\sigma-x_0)\)
- 把\(x = x_\sigma\)代入微分方程 将\(\sigma\)的x用x_0和x_d替换，然后 得到了关于x_d的线性化微分方程 \(\dot x = A x + b u\)求A的雅可比矩阵 行是函数，列为对变量的偏导； 求平衡点，代入偏导雅可比矩阵； 展开得到线性化后的微分方程
3. 卷积与LTI冲激响应（LTI：linear time invariant system）
卷积：\(x(t) = f(t)*h(t)=\int_0^t f(\tau)h(t-\tau)d\tau\) \(f(t)\)=输入 \(h(t)\)=单位冲激响应 \(L_{卷积}\)=L乘积
4. 欧拉公式Euler's Formula
\(e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\)
5. 复数Complex Number
\(\sin(x) = C\rightarrow x = \pi/2+2k\pi + \ln(C\pm\sqrt{C^2-1})i\) \(Z = a + b i \) \(Re(Z) =a \) \(Im(Z)=b \) \(\left | Z \right | = \sqrt{a^2+b^2}\) \(Z = \left | Z \right | \cdot (\cos\theta+i\sin\theta)= \left | Z \right | \cdot e^{i\theta}\) \(Z_1 \cdot Z_2 = \left | Z_1 \right | \left | Z_2 \right | e^{\theta_1+\theta_2}\) \(Z+\bar Z = 2a\) \(Z- \bar Z = 2bi\)
6. 阈值选取
Normal Distribution正态分布、高斯分布 \(X = (\mu,\sigma^2)\) 漏检False Dismissal 误警False Alarm
Advanced控制理论
状态空间：State-Space，包含输入、输出、状态，写成一阶微分方程的形式 \(\dot x = A x + B u\) \(y = Cx+Du\)
稳定性
两种类型
- Lyapunov稳定性：有界 \(\forall t_0, \forall \epsilon >0, \exists \delta (t_0, \epsilon):\left \| x(t_0)\right \|<\delta(t_0,\epsilon)\Rightarrow \forall t \geqslant t_0, \left \| x(t) \right \| < \epsilon\)
\(a \, of\, \lambda_i \leqslant 0\)实部 判断方法：
- 渐进稳定性： \(\exists \delta(t_0)>0: \left \|x(t_0)\right \|<\delta(t_0) \Rightarrow \lim \limits_{t \rightarrow \infty } \left \| x(t)\right \| = 0 \) \(a \, of\, \lambda_i < 0\)实部
判别方法
- 直接方法：解微分方程(Direct method) 求解λ的值，判断正负
- 第二方法：(2nd method) \((i)V(0) = 0\) \((ii) V(x) \geqslant 0 , in\, D-{0}\) PSD:postive semi definit \((iii)\dot V(x) \leqslant 0 , in\, D-{0}\)NSD:negative semi definit \(\Rightarrow x = 0\)
3. 不稳定
存在至少一个特征值实部大于零
相图分析-phase-portrait
plot(x,\(\dot x\))，通过x初值，分析点在轨迹上的移动，判断稳不稳定 matlab绘制实例
% 画解微分方程组的相图
clear;cla;clc;
[x,y]=meshgrid(linspace(-5,5));
streamslice(x,y,0 * x + 2 * y,-3 * x + 0 * y );
xlabel('x');ylabel('y');
特征值和相图的关系
齐次状态方程解\(\dot x = A x\)
\(\dot x = a x\rightarrow x(t) = e^{at}x(0)\) 同理，多元线性方程 \(\dot x = a x\rightarrow x(t) = e^{At}x(0)\) 其中，状态转移矩阵\(\Phi(t)\)解法
- 数值法： \(\Phi(t) = e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+...+\frac{1}{k!}A^kt^k\)
- 解析法： \(\Phi(t) = L^{-1}[sI-A]^{-1}\)
性质： \(\Phi(0) = I\) \(x(t) = \Phi(t-t_0)x(t_0)\) \(\Phi ^{-1}(t) = \Phi(-t)\)
非齐次状态方程\(\dot x = A x + B u\)
\(x(t) = \Phi (t)x(0)+ \int_0^t\Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau\) 初始状态x(0)响应+输入项u(t)响应
线性系统可控性与可观测性
可控性：\(\forall x(0),x(t_f), \exists t_f < +\infty , u[0,t_f], st. x(0)\rightarrow x(t_f)\) 充要条件：
- \(S = [b\, Ab\, A^2...\, A^{n-1}b]\) 理论可行，但是实际物理不一定 以离散系统为例证明： \(x_ 0 = 0\\ x_1 = Ax_0 + Bu_0 = Bu_0\\ x_2 = Ax_1 + Bu_1 = ABu_0 + B u_1\\ x_3 = Ax_2 + Bu_2 = A^2Bu_0 + AB u_1 + B u_2\\ \) Matlab 求解，Co矩阵 "ctrb(A,B)"
- \(rank[S] = n, det \, S \neq 0\)
可观性：\(\forall t \in [t_0,t_f],已知y(t),u(t),可求x(t_0)\) \(rank \begin{bmatrix} C\\ CA\\ CA^2\\ ...\\ CA^{n-1} \end{bmatrix} =n \)
引理
\(f(\lambda) = \sum_{i=0}^{n}a_i\lambda ^i\) \(f(A) = 0 \rightarrow A^n = \sum_{i=0}^{n-1}a_iA^i\)
求解\(\left | \lambda I - A\right |\)的特征多项式 将\(\lambda = A \)代入，得到递推公式，解算\(A^n\)
状态反馈与状态观测器
取\(u=v-kx\)，其中，v为参考输入，系统闭环矩阵由A变为A-Bk
- 不改变可控性，有可能改变可观性
- 闭环特征值
状态观测器
Kalman滤波器原理以及在matalb中的实现
状态转移矩阵： 这里要改一下，改成估计量 \(x_t^- = F_t x_{t-1} + B_t u_t\)
状态转移矩阵:\(P_t^-=FP_{t-1}F^T+Q\)
协方差矩阵: \( \begin{bmatrix} \sigma_{11}&\sigma_{12}\\ \sigma_{12}&\sigma_{22}\\ \end{bmatrix} \)
卡尔曼方程≠状态观测器
以小车为例，讲卡尔曼滤波最优状态估计
在上图中，P是观测值\(\hat x\)的方差 R是观测器中，来自预估值的比例
概率函数相乘，多传感器信息融合
非线性控制理论
ARC
Barbalat’s 引理 lemma
- \(V\geq0\)
- \(\dot{V} \leq -g(t)\), where \(g(t)\geq 0\)
- \(\dot{g}(t)\in L_{\infty}\), if\(\dot{g}(t)\) is bounded the g(t) is uniformly continous. Then, \(\lim_{t->\infty} g(t)=0\) Consquently, \(\lim_{t->\infty} e = 0 (k\neq0)\)