对于Env来说,属于MP,但是不是参数已知的MDP 比如元组中a、s、P的关系不确定 or 未知 Prediction -> Control Evaluation -> Optimization
基于大数定律: \(V(s) -> V_\pi(s)\) as \(N(s)->\infty\)
均值累计计算: \[ \begin{aligned} \mu_{k} &=\frac{1}{k} \sum_{j=1}^{k} x_{j} \\ &=\frac{1}{k}\left(x_{k}+\sum_{j=1}^{k-1} x_{j}\right) \\ &=\frac{1}{k}\left(x_{k}+(k-1) \mu_{k-1}\right) \\ &=\mu_{k-1}+\frac{1}{k}\left(x_{k}-\mu_{k-1}\right) \end{aligned} \] 类似于PID的P 增益 改写计算方式,用\(\alpha\)代替\(\frac{1}{N(s_t)}\) \(V(S_t) \leftarrow V(S_t)+\alpha(G_t - V(S_t))\)
可以看到这里的\(\alpha\)和机器学习里面用的学习率是一个符号
Goal:学习\(v_{\pi}\) 的值,under policy \(\pi\)
\[ V\left(S_{t}\right) \leftarrow V\left(S_{t}\right)+\alpha\left(R_{t+1}+\gamma V\left(S_{t+1}\right)-V\left(S_{t}\right)\right) \] TD target 是
项目 | MC | TD |
---|---|---|
不完整片段学习能力 | 无 | 有 |
在线学习(every step)能力 | update until the end | 有 |
loop环境学习能力 | 无,必须terminating | 有 |
收敛性好 | 是 | |
初值敏感 | 否 | 是 |
偏差bias | zero | some |
方差variance | high | low |
项目 | 动态规划DP | 蒙特卡洛MC | 差分TD |
---|---|---|---|
自举Bootstrapping | 1 | 0 | 1 |
采样Sampling | 0 | 1 | 1 |
TD用了Markov特性,因此在MP过程高效 MC相反,统计规律,非MP过程更高效
扩展TD(0),视野扩展到N个step,N=全过程时,变为MC
TD(N)推导
对于某个问题来说,没有那个N值是最优的 因此,用几何加权的方法来对视野做平均
\(\lambda\):对视野的平均 for iteration: t -> t+1 update value function
引入权重概念,前面的重要,指数衰减
Credit assignment: 引入 Eligibility Traces:关于状态s的权重 当s重复出现,E值升高,不出现,指数下降 \(E_{0}(s)=0\) \(E_{t}(s)=\gamma \lambda E_{t-1}(s)+\mathbf{1}\left(S_{t}=s\right)\)
Backward步骤:
\[ \begin{aligned} \delta_{t} &=R_{t+1}+\gamma V\left(S_{t+1}\right)-V\left(S_{t}\right) \\ V(s) & \leftarrow V(s)+\alpha \delta_{t} E_{t}(s) \end{aligned} \]
\[ \sum_{t=1}^{T} \alpha \delta_{t} E_{t}(s)=\sum_{t=1}^{T} \alpha\left(G_{t}^{\lambda}-V\left(S_{t}\right)\right) 1\left(S_{t}=s\right) \] 对于\(\lambda \in [0,1]\),满足TD error = \(\lambda-error\)
对于online 的updates来说,TD(\(\lambda\))前后向视图稍有不同,引入Exact online TD(\(\lambda\))
TD(0) 向后看一步 TD(\(\lambda\)) 视野距离按\(\lambda\)指数衰减,叠加 TD(1) 视野不按指数衰减 对于离线更新来说: TD(0) = TD(\(\lambda\)) = TD(1)
对于在线更新,引入Exact online TD(\(\lambda\))