Python|函数递归-sin之舞
问题描述
最近FJ为他的奶牛们开设了数学分析课，FJ知道若要学好这门课，必须有一个好的三角函数基本功。所以他准备和奶牛们做一个“Sine之舞”的游戏，寓教于乐，提高奶牛们的计算能力。 不妨设： An=sin(1–sin(2+sin(3–sin(4+...sin(n))...) Sn=(...(A1+n)A2+n-1)A3+...+2)An+1 FJ想让奶牛们计算Sn的值，请你帮助FJ打印出Sn的完整表达式，以方便奶牛们做题。
解决方案
问题明显是两个部分，由An和Sn组成，而且Sn是由An和其他部分组成。
观察两个表达式，发现它们可以的组成含有一定的规律，开始考虑函数递归的思路，找到递归出口和递归规律。
先看Sn部分，将Sn的表达式进行翻转，然后将由+号连接的部分看作为一项，可以发现每一项都可以由一个通项公式——“Aj +（n + 1 - j）”表示，这个规律也就是递归的通项公式，而且递归出口也就是当j等于n时，也就是翻转后的Sn的第一项；
再看An部分，从后往前看，可以发现“I +（-1）i * sin（）”构成了它前一项的sin内的值，且最后一项为sin（n），这样An的递归规律也就找到了，同时，递归出口也很容易发现：当i等于n的时候，也就是最后一项sin（n）。
python代码：
def An(i,n):#求An表达式的函数， if i==n:#递归出口，最后一项 return 'sin'+'('+str(n)+')' else: return 'sin'+'('+str(i)+'+'+str((-1)**i)+str(An(i+1,n))+')'#连接通项公式，开始递归 def Sn(n,j):#求Sn表达式的函数 if j==n:#递归出口，翻转后Sn的第一项 return str(n)+'+'+str(An(1,1)) else: return str(j)+'+'+str(An(1,n+1-j))+'('+str(Sn(n,j+1))+')'#开始递归，需要将An（）放入递归中 |
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结语
当完成上述函数递归后，假设需要求S3的表达式，会得到这样的结果：1+sin(1+-1sin(2+1sin(3)))(2+sin(1+-1sin(2))(3+sin(1)))，这个结果虽然是正确的，但是出现一个问题，那就是负号出现时正号也会出现，也就还需要一些调整，注意得到的Sn是一个字符串，那么问题也就变得简单了，只需要遍历这个字符串，如果出现正负号同时存在的情况，便将负号删除。
同时通过这个递归的简单应用，可以发现递归的一般思路步骤：首先分析问题，找到递归规律，然后找到递归出口，最后分析递归开始的条件和位置，完成递归。
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实习编辑 | 王文星
责 编 | 黄章鱼
where2go 团队