高效解答二进制数“多异或”和“多同或”连续运算问题

“异或”的数学运算符表示为“⊕”，“同或”的数学运算符表示为“⊙”，在计算机网络中“1”表示“真”，“0”表示“假”

Hello！你好哇，我是灰小猿！

在学习计算机网络的时候，有用到对二进制数进行异或（符号：⊕）和同或（符号：⊙）运算，所以在这里简单记录一下。

在数学中异或和同或常用于命题的判断，而在计算机中则常用于二进制数之间的运算，

异或运算

关于异或运算有以下的规定：

0⊕0=0 0同0异或，结果为0

0⊕1=1 0同1异或，结果为1

1⊕0=1 1同0异或，结果为1

1⊕1=0 1同1异或，结果为0

即两个逻辑变量相异，输出才为1

也可以用两句话表示：“异为1，同为0”

多异或连续运算

而在计算机网络中真正对其进行使用的时候，两个二进制数之间的简单异或运算并不多见，更多的则是多异或连续运算。

首先看几个多异或连续运算的式子：

1⊕0⊕1⊕1⊕1=0

1⊕0⊕1⊕0⊕1=1

0⊕0⊕1⊕0=1

0⊕1⊕1⊕0=0

关于这种多异或连续运算，通常的思路是：

多个异或连续运算，就类似数学上的连加、连乘运算：将前两个数的运算结果，与第三个数继续运算；再将结果与第四个运算；直到最后得出结果，其中的每一步都要按照相应运算的规则进行；

但是也还有另外一种比较简单的判断方法：

多个命题（或命题变量）的“异或”运算：其结果依赖于参与运算的所有量中，取值为“真（1）”的量的“个数”的“奇偶性”：

若含“奇数”个“真命题（1）”，则结果为“真（1）”；

　　若含“偶数”个“真命题（1）”，则结果为“假（0）”；（注：零个也是偶数个）

所以这样看来，上面的式子中：

第一个有偶数个“1”则结果为“0”，

第二个有奇数个“1”则结果为“1”，

换句话说：命题表达式 A⊕B⊕C⊕D 结果为“真”，当且仅当 A、B、C、D 中有奇数个（即 1 个或 3 个）变量的取值为“真”；

而至于其中“假命题”的个数，则对结果“无任何影响”。关于这一点的证明，可以从下面两个恒等式中找到思路：

p ⊕ 1 = 非p；——增加一个“真命题”参与运算，总会将“原命题”变成其“反命题”；

p ⊕ 0 = p；——增加一个“假命题”参与运算，对“原命题”永远没影响；

同或运算

关于同或运算有以下几点要注意：

1.“同或”是一个数学运算符，应用于逻辑运算。 其运算法则为a同或b=ab+a‘b’（a'为非a）。

真“同或”假的结果是假，假“同或”真的结果也是假，真“同或”真的结果是真，假“同或”假的结果是真。

换句话说就是：两个值相同，则同或结果为真。反之，为假。——简称同真，异假。即，同或：相同为一，不同为零。

2. 同或符号为⊙。（圆圈内为点）

3. 同或和异或互为非运算。

4. 同或公式：

a⊙b=ab+a'b'(a'为非a，b'为非b)；

5. 同或真值表

6.同或运算只有交换律和结合律

a ⊙ b = b ⊙ a; (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c);

多同或连续运算

对于多个输入的同或可以这样理解：

a ⊙ 1 = a; a⊙ 0⊙ 0 = a;

即a与任意个1或偶数个0的同或，结果是a本身

例如：

1⊙ 1⊙ 0⊙ 1⊙ 0⊙ 0的运算方法为：

1）根据交换律，可以把输入中的 1 全部向右靠在一起得

0⊙ 0⊙ 0⊙ 1 ⊙1⊙ 1，然后根据结合律

0⊙ 0⊙ 0⊙ (1⊙1⊙ 1)，消去所有 1，得

0⊙ 0⊙ 0

2）消去偶数个 0，得结果为：0

如果步骤 1）将得到偶数个 0 则少消除一个 1 作为结果

简而言之，同或运算就是观察输入中 0 的个数。奇数个 0 则结果为 0 ，偶数个 0 则结果为 1

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