矩阵分析笔记（五）线性映射

线性映射定义

设V_1,V_2是数域\mathbb{F}上两个线性空间，映射\mathscr{A}:V_1→V_2，如果它保持加法和数乘法：

1. \forall \alpha_1, \alpha_2\in V_1有\mathscr{A}(\alpha_1+\alpha_2)=\mathscr{A}(\alpha_1)+\mathscr{A}(\alpha_2)
2. \forall \alpha \in V_1, k\in \mathbb{F}有\mathscr{A}(\alpha ·k)=\mathscr{A}(\alpha)·k

则称\mathscr{A}为从线性空间V_1到V_2的线性映射，如果V_1和V_2是同一个线性空间，则称\mathscr{A}为线性变换。从V_1到V_2的所有线性映射构成的集合记为\mathscr{L}(V_1, V_2)

例如，映射

不是线性映射；映射

是线性映射

线性映射的简单性质

1. \mathscr{A}(0)=0
2. \mathscr{A}(\sum_{i=1}^sk_i\alpha_i)=\sum_{i=1}^sk_i\mathscr{A}(\alpha_i)，其中\alpha_i \in V, k_i\in \mathbb{F}
3. 设\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s \in V_1 ,\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s线性相关，则\mathscr{A}(\alpha_1),\mathscr{A}(\alpha_2),...,\mathscr{A}(\alpha_s)也线性相关

现证明性质(3)

事实上，由于\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s线性相关，不失一般性，不妨设

于是

因此，\mathscr{A}(\alpha_1), \mathscr{A}(\alpha_2),...,\mathscr{A}(\alpha_s)线性相关

特别要注意，若\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_s \in V_1线性无关，则\mathscr{A}(\alpha_1), \mathscr{A}(\alpha_2), ..., \mathscr{A}(\alpha_s)不一定线性无关

线性映射的矩阵表示

给定\mathbb{F}上的线性空间V_1, V_2，及线性映射\mathscr{A}:V_1\to V_2。设\dim(V_1)=n, \dim(V_2)=m，并设\varepsilon_1,\varepsilon_2,...,\varepsilon_n为V_1的一个基（称为入口基）；\eta_1, \eta_2,...,\eta_m为V_2的一个基（称为出口基）。记第j个入口基向量\varepsilon_j \in V_1在\mathscr{A}下的像\mathscr{A}(\varepsilon_j)\in V_2在出口基\eta_1, \eta_2,...,\eta_n下的坐标为

即

则由\mathbb{F}^m中的向量组a_1, a_2,...,a_n拼成的矩阵

称为\mathscr{A}在相应的入口基和出口基下的表示

定义记号

即线性映射作用在向量组拼成的矩阵上，定义为向量组中每个向量的像按原顺序所成的向量组（简称为向量组的像）拼成的矩阵。则有下面的公式

用文字表示，读作

事实上，只要确定了线性映射两个空间的基（例如(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)和(\beta_1,\cdots,\beta_m)），就有唯一确定的一个矩阵A与之对应，而且矩阵A的每一个列向量就是对应的原基向量映射后的坐标；反之，如果基确定，任何一个矩阵都唯一确定了一个线性映射

我个人理解，线性映射其实就是将一个m维的矩阵，转换为n维的矩阵，而在转换过程中，需要一个m\times n的矩阵A，这类似于PyTorch中的nn.Linear(m, n, bias=False)函数

用坐标计算线性映射

设线性映射\mathscr{A}:V_1\to V_2在入口基\varepsilon_1, \varepsilon_2,...,\varepsilon_n和出口基\eta_1, \eta_2,...,\eta_m下的矩阵表示为A，又设\alpha \in V_1在入口基下的坐标为x \in \mathbb{F}^n，则\mathscr{A}(\alpha)\in V_2在出口基下的坐标为Ax\in \mathbb{F}^m

证明：也就是要证\mathscr{A}(\alpha)=\begin{bmatrix}\eta_1 & \eta_2 & \cdots & \eta_m\end{bmatrix}(Ax)

因为

证毕

例题1

设B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\mathscr{A}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3由下式确定

试求\mathscr{A}在基\alpha_1=(1, 0)^T, \alpha_2=(0,1)^T与基\beta_1=(1,0,0)^T,\beta_2=(0,1,0)^T,\beta_3=(0,0,1)^T下的矩阵表示A

解：因为\mathscr{A}(\alpha_1)=(1, 1, 0)^T, \mathscr{A}(\alpha_2)=(2, 1, 1)^T

又由\begin{bmatrix}\mathscr{A}(\alpha_1) & \mathscr{A}(\alpha_2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \beta_3\end{bmatrix}A

例题2

求线性映射\mathscr{A}:R[x]_{n+1}\to R[x]_n

在基1, x, x^2, ..., x^n与基1, x, x^2,..., x^{n-1}下的矩阵表示D

解：因为\mathscr{A}(1)=0, \mathscr{A}(x)=1,...,\mathscr{A}(x^n)=nx^{n-1}

又由\begin{bmatrix}\mathscr{A}(1) & \mathscr{A}(x) & \cdots & \mathscr{x^n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & x & \cdots & x^{n-1}\end{bmatrix}A