100个经典的动态规划方程

1.资源问题1-----机器分配问题

F[I,j] = max(f[i-1,k]+w[i,j-k])

2.资源问题2------01背包问题

F[I,j] = max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);

3.线性动态规划1-----朴素最长非降子序列

F = max{f[j]+1}

4.剖分问题1-----石子合并

F[i,j] = min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);

5.剖分问题2-----多边形剖分

F[I,j] = min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);

6.剖分问题3------乘积最大

f[i,j] = max(f[k,j-1]*mult[k,i]);

7.资源问题3-----系统可靠性(完全背包)

F[i,j] = max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}

8.贪心的动态规划1-----快餐问题

F[i,j,k] = max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2)div p3}

9. 贪心的动态规划2----过河

f=min{{f(i-k)} (not stone)

{f(i-k)}+1} (stone); +贪心压缩状态

10.剖分问题4-----多边形-讨论的动态规划

F[i,j] = max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];

负负 g[I,k]*f[k+1,j];

正负 g[I,k]*f[k+1,j];

负正 f[I,k]*g[k+1,j];} g为min

11. 树型动态规划1-----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)

F[I,j] = max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}

12.树型动态规划2-----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)

F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分

f[i,j] = max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}

13.计数问题1-----砝码称重

f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];

(1<=i<=n; 1<=j<=f[0];1<=k<=a;)

14.递推天地1------核电站问题

f[-1] = 1; f[0] = 1;

f = 2*f[i-1]-f[i-1-m]

15.递推天地2------数的划分

f[i,j] = f[i-j,j]+f[i-1,j-1];

16.最大子矩阵1-----一最大01子矩阵

f[i,j] = min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;

ans = maxvalue(f);

17.判定性问题1-----能否被4整除

g[1,0] = true; g[1,1] = false; g[1,2] = false;g[1,3] = false;

g[i,j] = g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 =j)

18.判定性问题2-----能否被k整除

f[I,j±n mod k] = f[i-1,j]; -k<=j<=k; 1<=i<=n

20.线型动态规划2-----方块消除游戏

f[i,i-1,0] = 0

f[i,j,k] = max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),

f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}

ans = f[1,m,0]

21.线型动态规划3-----最长公共子串，LCS问题

f[i,j]={0(i=0)&(j=0);

f[i-1,j-1]+1 (i>0,j>0,x=y[j]);

max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);

22.最大子矩阵2-----最大带权01子矩阵

O(n^2*m) 枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零

23.资源问题4-----装箱问题(判定性01背包)

f[j] = (f[j] or f[j-v]);

24.数字三角形1-----朴素の数字三角形

f[i,j] = max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);

25.数字三角形2-----晴天小猪历险记之Hill

同一阶段上暴力动态规划

if[i,j] = min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]

26.双向动态规划1数字三角形3

-----小胖办证

f[i,j] = max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])

27. 数字三角形4-----过河卒

//边界初始化

f[i,j] = f[i-1,j]+f[i,j-1];

28.数字三角形5-----朴素的打砖块

f[i,j,k] = max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);

29.数字三角形6-----优化的打砖块

f[I,j,k] = max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}

30.线性动态规划3-----打鼹鼠’

f = f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])

31.树形动态规划3-----贪吃的九头龙

32.状态压缩动态规划1-----炮兵阵地

Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])

If (map and plan[k]=0) and

((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)

33.递推天地3-----情书抄写员

f = f[i-1]+k*f[i-2]

34.递推天地4-----错位排列

f = (i-1)(f[i-2]+f[i-1]);

f[n] = n*f[n-1]+(-1)^(n-2);

35.递推天地5-----直线分平面最大区域数

f[n] = f[n-1]+n

= n*(n+1) div 2 + 1;

36.递推天地6-----折线分平面最大区域数

f[n] = (n-1)(2*n-1)+2*n;

37.递推天地7-----封闭曲线分平面最大区域数

f[n] = f[n-1]+2*(n-1)

= sqr(n)-n+2;

38.递推天地8-----凸多边形分三角形方法数

f[n] = C(2*n-2,n-1) div n;

对于k边形

f[k] = C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)

39.递推天地9-----Catalan数列一般形式

1,1,2,5,14,42,132

f[n] = C(2k,k) div (k+1);

40.递推天地10-----彩灯布置

排列组合中的环形染色问题

f[n] = f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1] = m; f[2] = m(m-1);

41.线性动态规划4-----找数

线性扫描

sum = f+g[j];

(if sum=Aim then getout; if sum<Aim theninc(i) else inc(j);)

42.线性动态规划5-----隐形的翅膀

min = min{abs(w/w[j]-gold)};

if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);

43.剖分问题5-----最大奖励

f = max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t

44.最短路1-----Floyd

f[i,j] = max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);

ans[q[i,j,k]] = ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];

45.剖分问题6-----小H的小屋

F[l,m,n] = f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);

46.计数问题2-----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）

Ans[l1,l2,l3,D] = f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];

F[l1,l2,l3,D] = Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);

47.线性动态规划------合唱队形

两次F = max{f[j]+1}＋枚举中央结点

48.资源问题-----明明的预算方案：加花的动态规划

f[i,j] = max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);

49.资源问题-----化工场装箱员

50.树形动态规划-----聚会的快乐

f[i,2] = max(f[i,0],f[i,1]);

f[i,1] = sigma(f[t^.son,0]);

f[i,0] = sigma(f[t^.son,3]);

51.树形动态规划-----皇宫看守

f[i,2] = max(f[i,0],f[i,1]);

f[i,1] = sigma(f[t^.son,0]);

f[i,0] = sigma(f[t^.son,3]);

52.递推天地-----盒子与球

f[i,1] = 1;

f[i,j] = j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);

53.双重动态规划-----有限的基因序列

f = min{f[j]+1}

g[c,i,j] = (g[a,i,j] and g[b,i,j]) or(g[c,i,j])

54.最大子矩阵问题-----居住空间

f[i,j,k] = min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),

min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])), min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]), f[i-1,j-1,k-1]))+1;

55.线性动态规划------日程安排

f = max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)

56.递推天地------组合数

C[I,j] = C[i-1,j]+C[I-1,j-1]

C[I,0] = 1

57.树形动态规划-----有向树k中值问题

F[I,r,k] = max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}

58.树形动态规划-----CTSC 2001选课

F[I,j] = w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(ifl<>0)

59.线性动态规划-----多重历史

f[i,j] = sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)

60.背包问题(+-1背包问题+回溯)-----CEOI1998 Substract

f[i,j] = f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]

61.线性动态规划(字符串)-----NOI2000 古城之谜

f[i,1,1] = min{f[i+length(s),2,1],f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2] = min{f[i+length(s),1,2] +words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}

62.线性动态规划-----最少单词个数

f[i,j] = max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}

63.线型动态规划-----APIO2007 数据备份

状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划

f = min(g[i-2]+s,f[i-1]);

64.树形动态规划-----APIO2007 风铃

f = f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}

g = 1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])

g[l]=g[r]=1 then Halt;

65.地图动态规划-----NOI 2005 adv19910

F[t,i,j] = max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];

66.地图动态规划-----优化的NOI 2005adv19910

F[k,i,j] = max{f[k-1,i,p]+1}j-b[k]<=p<=j;

67.目标动态规划-----CEOI98 subtra

F[I,j] = f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]

68.目标动态规划----- Vijos 1037搭建双塔问题

F[value,delta] = g[value+a,delta+a] org[value,delta-a]

69.树形动态规划-----有线电视网

f[i,p] = max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])

leaves>=p>=l, 1<=q<=p;

70.地图动态规划-----vijos某题

F[I,j] = min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);

71.最大子矩阵问题-----最大字段和问题

f = max(f[i-1]+b,b); f[1] = b[1]

72.最大子矩阵问题-----最大子立方体问题

枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]

枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵

73.括号序列-----线型动态规划

f[I,j] = min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),

f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] ,f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )

74.棋盘切割-----线型动态规划

f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],

f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]

min{}}

75.概率动态规划-----聪聪和可可(NOI2005)

x = p[p[i,j],j]

f[I,j] = (f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1

f[I,i]=0

f[x,j]=1

76.概率动态规划-----血缘关系

F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2

f[I,i]=1

f[I,j]=0(I,j无相同基因)

77.线性动态规划-----决斗

F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] ore[j,k]),i<k<j

78.线性动态规划-----舞蹈家

F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])

79.线性动态规划-----积木游戏

F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])

80.树形动态规划（双次记录）----NOI2003 逃学的小孩

朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)

每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。当遍历到某个孩子节点的时候，只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是，就取次大，否则取最大值

81.树形动态规划(完全二叉树)-----NOI2006网络收费

F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中，有j个用户为A，在I的每个祖先u上，如果N[a]>N则标0否则标1，用二进制状态压缩进k中，在这种情况下的最小花费

F[I,j,k] = min{f[l,u,k and(s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s<<(i-1))]}

82.树形动态规划-----IOI2005 河流

F = max

83.记忆化搜索-----Vijos某题,忘了

F[pre,h,m] = sigma{SDP(I,h+1,M+i)}(pre<=i<=M＋1)

84.状态压缩动态规划-----APIO 2007 动物园

f[I,k] = f[i-1,k and not (1<<4)] +NewAddVal

85.树形动态规划-----访问术馆

f[i,j-c×2] = max ( f[l,k], f[r,j-c×2-k] )

86.字符串动态规划-----Ural 1002 Phone

if exist(copy(s,j,i-j)) then f = min(f,f[j]+1);

87.多进程动态规划-----CEOI 2005 service

Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t] )

Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t] )

Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t] )

88.多进程动态规划-----Vijos1143 三取方格数

max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]);

if (j=k) and (k=l) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else

if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l])else

if (k=l) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

if (j=l) theninc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else

inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);

89.线型动态规划-----IOI 2000 邮局问题

f[i,j] = min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);

90.线型动态规划-----Vijos 1198 最佳课题选择

if j-k>=0 thenMin(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k));

91.背包问题----- USACO Raucous Rockers

多个背包，不可以重复放物品，但放物品的顺序有限制。

F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包，此背包花费了k的空间。

f[I,j,k] = max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t])

92.多进程动态规划-----巡游加拿大（IOI95、USACO）

d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] &j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。

f[i,j]表示从起点出发，一个人到达i，另一个人到达j时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i]，所以我们限制i>j

分析状态(i,j)，它可能是(k,j)(j<k<i)中k到达i得到（方式1），也可能是(j,k)(k<j)中k超过j到达i得到（方式2）。但它不能是(i,k)(k<j)中k到达j得到，因为这样可能会出现重复路径。即使不会出现重复路径，那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到，所以不会遗漏解时间复杂度O(n3)

93.动态规划-----ZOJ cheese

f[i,j] = f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]

94.动态规划-----NOI 2004 berry 线性

F[I,1] = s

F[I,j] = max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)

95.动态规划-----NOI 2004 berry 完全无向图

F[I,j] = f[i-1,j] or (j≥w) and(f[i-1,j-w])

96.动态规划-----石子合并 四边形不等式优化

m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]

97.动态规划-----CEOI 2005 service

（k≥long，i≥1）g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long]+1，g[i-1,j,k]}

（k<long，i≥1） g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long]+1，g[i-1,j,k]}

(0≤j≤m， 0≤k<t)g[0,j,k]=0;

ans = g[n,m,0]。

状态优化：g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long}

其中(a, b)+long=(a’, b’)的计算方法为：

当b+long ≤t时： a’=a; b’=b+long;

当b+long ＞t时： a’=a+1; b’=long;

规划的边界条件：

当0≤i≤n时，g[i,0]=(0,0)

98.动态规划-----AHOI 2006宝库通道

f[k] = max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1],x[k,j]-x[k,i-1]}

99.动态规划-----Travel

A) 费用最少的旅行计划。

设f表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用；g表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么：

f=f[x]+v, g=g[x]+1

x满足：

1、x<i，且d – d[x] <=800（一天的最大行程）。

2、对于所有的t < i, d – d[t] <=800，都必须满足：

A. g[x] < g[t](f[x] = f[t]时) B. f[x] < f[t] (其他情况)

f[0] = 0，g[0] = 0。 Ans = f[n +1]，g[n+1]。

B). 天数最少的旅行计划。

方法其实和第一问十分类似。

设g’表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数；f’表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么：

g’ = g’[x] + 1, f’ = f’[x] + v

x满足：

1、x<i，且d – d[x] <=800（一天的最大行程）。

2、对于所有的t < i, d – d[t] <=800，都必须满足：

f’[x] < f’[t] g’[x] = g’[t]时

g’[x] < g’[t] 其他情况

f’[0] = 0，g’[0] = 0。 Ans = f’[n + 1]，g’[n+1]。

100.动态规划-----NOI 2007 cash

y = f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]);

g = c[j]*y*a+y*b;

f = max(f,g)