数字图像处理学习笔记（六）——数字图像处理中用到的数学操作

数字图像处理(Digital Image Processing)是通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。本专栏将以学习笔记形式对数字图像处理的重点基础知识进行总结整理，欢迎大家一起学习交流！ 专栏链接：数字图像处理学习笔记

一、阵列和矩阵操作

图像可以被等价的看作是矩阵

事实上，在很多情况下，图像间的操作拭用矩阵理论执行的

例如2×2的图像

\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix}

和

\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12} \\ b_{21}&b_{22} \end{bmatrix}

阵列相乘是

\begin{bmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12} \\ b_{21}&b_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11} &a_{12}b_{12} \\ a_{21}b_{21}&a_{22}b_{22} \end{bmatrix}

数字图像处理中的阵列相乘对应MATLAB中的点乘（.*）

☞当我们谈到一幅图像的求幂时，意味着每个像素均进行求幂操作； ☞当我们谈到一幅图像除以另一幅图像时，意味着在相应的像素之间进行相除。

二、线性操作和非线性操作

图像处理方法最重要的分类之一是它是线性的还是非线性的 考虑一般的算子H，该算子对于给定输入图像f(x,y)产生一副输出图像g(x,y) H[f(x,y)]=g(x,y)

如果

，则称H是一个线性算子。

现假设H是求和算子∑，该算子的功能是简单地求和

\sum [a_{i}f_{i}(x,y)+a_{j}f_{j}(x,y)]=\sum a_{i}f_{i}(x,y)+\sum a_{j}f_{j}(x,y)

=a_{i}\sum f_{i}(x,y)+ a_{j}\sum f_{j}(x,y)

=a_{i}g_{i}(x,y)+a_{j}g_{j}(x,y)

注：是阵列求和，不是图像所有元素求和，因此单幅图像的求和是该图像本身

该方法用于证明对应的操作是线性操作还是非线性操作（左边=右边→线性；左边≠右边→非线性）

例：有两幅图像

，进行最大值操作，现假设令

a{_{1}}

=1和

a{_{2}}

=-1，

计算左侧

计算右侧

我们发现，左侧不等于右侧（-2≠-4），至此证明了求最大值的操作通常是非线性的。

三、算数操作

图像间的算术操作是阵列操作（算数操作在相应的算数对之间进行）

图像的算数操作涉及同样大小的图像

图像相加：s(x,y)=f(x,y)+f(x,y) 图像相减：g(x,y)=f(x,y)-f(x,y) 图像相乘：d(x,y)=f(x,y)×f(x,y) 图像相除：v(x,y)=f(x,y)÷f(x,y) 其中，x=1,2,3,...,M-1，y=1,2,3,...,N-1 通常，M和N是图像的行和列，s,g,d和v是大小为M×N的图像

图像相加：①去除叠加性噪声

②生成图像叠加效果

图像相减：①增强差别

②去除不需要的叠加性图案（例：电视制作的蓝屏技术）

③图像分割（如：分割运动的车辆，减法去掉静止部分，剩余的是运动元素和噪声） 图像相乘： ①校正/消除阴影

②图像的局部显示（用二值蒙板图像与原图像做乘法）

图像相除： 校正/消除阴影

四、集合和逻辑操作

代数运算——非：①获得一个阴图像（注：R,G,B三通道分别取反再合到一起还是彩色图像）

②获得一个子图像的补图像

代数运算——与：①求两个子图像的相交子图

②提取感兴趣的子图像

代数运算——或：①合并子图像

②提取感兴趣的子图像

代数运算——异或：获得相交子图像

综合图例：

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