ACwing 5. 多重背包问题 II（二进制拆分+DP）

Michael阿明

发布于 2021-02-19 12:41:56

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发布于 2021-02-19 12:41:56

文章被收录于专栏：Michael阿明学习之路

文章目录

- 1. 题目
- 2. 解题

1. 题目

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N≤1000

0<V≤2000

0<vi,wi,si≤2000

提示：

本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例

4 5

1 2 3

2 4 1

3 4 3

4 5 2

输出样例：

10

题目来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/5/

2. 解题

本题是在 4. 多重背包问题 I 的基础上，加大了数据规模，直接用上一题的代码是没问题的，但是时间复杂度很高，会超时

将 si 拆分成 1,2,4,8, … ,2^k, 剩余的数（这些数，每个数表示一个新的物品，这个新的物品是原来的n个组合成的），这些数可以组合成 1 - si 的任意数
然后应用 01 背包解决问题
时间复杂度 O ( N V log ⁡ S ) O(NV \log S ) O(NVlogS)，空间复杂度 O ( V ) O(V) O(V)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int N, V, vi, wi, si, maxprice = 0;
    cin >> N >> V;
    vector<int> dp(V+1, -1);
    dp[0] = 0;// dp[v] 表示体积为 v 时装的最大价值
    for(int i = 0; i < N; ++i)
    {
        cin >> vi >> wi >> si;
        for(int k = 1; si > k; k*=2)//二进制拆分
        {
            int price = wi*k;//合并成一个物品，其价值
            int v = vi*k;//其体积
            si -= k;//剩余物品数量
            for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包，状态更新
            {
                if(dp[j] == -1)//状态不存在
                    continue;
                dp[j+v] = max(dp[j+v], dp[j]+price);
                maxprice = max(maxprice, dp[j+v]);
            }
        }
        if(si > 0)//还剩余的，单独打包成一个物品
        {
            int price = wi*si;
            int v = vi*si;
            for(int j = V-v; j >= 0; --j)// 01 背包，状态更新
            {
                if(dp[j] == -1)//状态不存在
                    continue;
                dp[j+v] = max(dp[j+v], dp[j]+price);
                maxprice = max(maxprice, dp[j+v]);
            }
        }
    }
    cout << maxprice << endl;
    return 0;
}

855 ms C++

本文参与腾讯云自媒体同步曝光计划，分享自作者个人站点/博客。

原始发表：2020/10/25 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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