复合函数及图像变换

老齐

发布于 2021-03-11 15:11:55

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注：本文是《机器学习数学基础》的补充资料，本书预计2021年5月由电子工业出版社出版。更多内容可以参考：https://qiwsir.gitee.io/mathmetics/

函数的加减乘除

设

和

分别为两个函数，若自变量

属于两个函数定义域的交集，即

x\in\mathbb{D}(f)\cap\mathbb{D}(f)

，则定义：

(f+g)(x) = f(x)+g(x)

(f-g)(x)=f(x)-g(x)

(fg)(x)=f(x)g(x)

\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\quad(g(x)\ne{0})

注意，在

(f+g)(x) = f(x)+g(x)

中，等号左边的加法符号，表示的是两个函数相加；等号右边的加法符号，表示的是

f(x)

和

g(x)

两个函数输出值相加。

复合函数

设函数

和

，复合函数（composite function）

f\circ{g}

定义为：

(f\circ{g})(x)=f(g(x))

在复合函数中，

g(x)

是第一个函数

的输出，也是第二个函数

的输入，其运算流程如下图所示：

复合函数运算流程

由此流程可知，复合函数的自变量

首先在函数

的定义域内，

g(x)

的值又在函数

的定义域内，如此才能得到两者的符合函数

(f\circ{g})(x)

的输出。定义域的演示如下图所示。

定义域关系

一般情况，

f\circ{g}

和

g\circ{f}

是两个不同的函数。

平移

对一个已知的函数，通过加、减一个常数，就可以得到一个新的函数；或者让自变量加减一个常数，也可以得到新的函数。新函数相对于原来的函数，会在水平、竖直方向上发生平移。

垂直平移：

y=f(x)+k

水平平移：

y=f(x+h)

如下图所示，是基于函数

f(x)=x^2

，按照上述原则进行平移，分别得到相应的函数。

向着

轴正方向平移

个单位：

y=x^2+1

向着

轴负方向平移

个单位：

y=x^2-2

向着

轴负方向平移

个单位：

y=(x+3)^2

函数平移

压缩和拉伸

如果对函数或者自变量乘以一个常数，能够实现函数图像的压缩和拉伸效果。

设常数

c\gt{1}

，对于函数

f(x)

：

y=cf(x)

，将函数

的图像沿

轴拉伸为

倍

y=\frac{1}{c}f(x)

，将函数

的图像沿

轴压缩为

\frac{1}{c}

倍

y=f(cx)

，将函数

的图像沿

轴压缩为

\frac{1}{c}

倍

y=f(x/c)

，将函数

的图像沿

轴拉伸为

倍

如果

c=-1

，则：

y=-f(x)

，相对

轴镜像变换

y=f(-x)

，相对

轴镜像变换

如下图所示，演示了图像压缩、拉伸和镜像变换。

函数图像变换

(待续)

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