Leetcode No.172 阶乘后的零

题目描述

给定一个整数 n，返回 n! 结果尾数中零的数量。

示例 1: 输入: 3 输出: 0 解释: 3! = 6, 尾数中没有零。

示例 2: 输入: 5 输出: 1 解释: 5! = 120, 尾数中有 1 个零. 说明: 你算法的时间复杂度应为 O(log n) 。

思路一：计算阶乘

这种方法速度太慢了，但却是一个好的起点。虽然不会在面试中实现它，但是你可以简单的描述它是个解决问题的办法之一。

解决这个问题的最简单的办法就是计算 n!，然后计算它的末尾数 0 个数。阶乘是通过将所有在 1和 n 之间的数字相乘计算的。例如，10!=10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=3,628,800。因此，可以使用以下算法迭代计算阶乘。

如果一个数字末尾有零，那么它可以被 10 整除。除以 10 将删除该零，并将所有其他数字右移一位。因此，我们可以通过反复检查数字是否可以被 10 整除来计算末尾 0 的个数。

在 Java 中，我们需要使用 BigInteger，防止在计算阶乘的过程中溢出。

import java.math.BigInteger;
class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        BigInteger nFactorial=BigInteger.ONE;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            nFactorial = nFactorial.multiply(BigInteger.valueOf(i));
        }
        int cnt=0;
        while(nFactorial.mod(BigInteger.TEN).equals(BigInteger.ZERO)){
            nFactorial=nFactorial.divide(BigInteger.TEN);
            cnt++;
        }
        return cnt;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)。

空间复杂度：O(1)。

思路二

首先末尾有多少个 0 ，只需要给当前数乘以一个 10 就可以加一个 0。

再具体对于 5!，也就是 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120，我们发现结果会有一个 0，原因就是 2 和 5 相乘构成了一个 10。而对于 10 的话，其实也只有 2 * 5 可以构成，所以我们只需要找有多少对 2/5。

我们把每个乘数再稍微分解下，看一个例子。

11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 11 * (2 * 5) * 9 * (4 * 2) * 7 * (3 * 2) * (1 * 5) * (2 * 2) * 3 * (1 * 2) * 1

对于含有 2 的因子的话是 1 * 2, 2 * 2, 3 * 2, 4 * 2 ...

对于含有 5 的因子的话是 1 * 5, 2 * 5...

在这里插入图片描述

含有 2 的因子每两个出现一次，含有 5 的因子每 5 个出现一次，所有 2 出现的个数远远多于 5，换言之找到一个 5，一定能找到一个 2 与之配对。所以我们只需要找有多少个 5。

直接的，我们只需要判断每个累乘的数有多少个 5 的因子即可。

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int cnt=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int factor=i;
            while(factor>0){
                cnt=cnt+factor/5;
                factor=factor%5;
            }
        }
        return cnt;
    }
}

但发生了超时，我们继续分析。

对于一个数的阶乘，就如之前分析的，5 的因子一定是每隔 5 个数出现一次，也就是下边的样子。

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * (1 * 5) * ... * (2 * 5) * ... * (3 * 5) *... * n

因为每隔 5 个数出现一个 5，所以计算出现了多少个 5，我们只需要用 n/5 就可以算出来。

但还没有结束，继续分析。

... * (1 * 5) * ... * (1 * 5 * 5) * ... * (2 * 5 * 5) * ... * (3 * 5 * 5) * ... * n

每隔 25 个数字，出现的是两个 5，所以除了每隔 5 个数算作一个 5，每隔 25 个数，还需要多算一个 5。

也就是我们需要再加上 n / 25 个 5。

同理我们还会发现每隔 5 * 5 * 5 = 125 个数字，会出现 3 个 5，所以我们还需要再加上 n / 125 。

综上，规律就是每隔 5 个数，出现一个 5，每隔 25 个数，出现 2 个 5，每隔 125 个数，出现 3 个 5... 以此类推。

最终 5 的个数就是 n / 5 + n / 25 + n / 125 ...

写程序的话，如果直接按照上边的式子计算，分母可能会造成溢出。所以算 n / 25 的时候，我们先把 n 更新，n = n / 5，然后再计算 n / 5 即可。后边的同理。

class Solution {
    public int trailingZeroes(int n) {
        int cnt=0;
        while(n>0){
            cnt+=n/5;
            n=n/5;
        }
        return cnt;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(logn)。在这种方法中，我们将 n 除以 5 的每个幂。根据定义，5 的log5 N幂小于或等于 n。由于乘法和除法在 32 位整数范围内，我们将这些计算视为 O(1)。因此，我们正在执行 log5 N⋅O(1)=logn 操作 空间复杂度：O(1)，只是用了常数空间。