PNAS：几何重正化揭示了多尺度人体连接组的自相似性

大脑的结构连通性通常是通过将其观察减少到单一的空间分辨率来研究的。然而，大脑拥有一个组织在多个尺度上彼此连接丰富的架构。我们利用五种不同分辨率重建的健康受试者数据集探索了人类连接组的多尺度组织。我们发现，当观察的分辨率随着解剖区域的分级粗粒化而逐渐降低时，人类大脑的结构仍然是自相似的。引人注目的是，一个距离不是欧几里德的几何网络模型预测了连接组的多尺度特性，包括自相似性。该模型依赖于几何重正化(GR)协议的应用，该协议通过粗粒度和在短的相似距离上平均来降低分辨率。

我们的研究结果表明，简单的组织原则是人类大脑结构网络的多尺度架构的基础，其中相同的连接法则决定了不同大脑区域在不同分辨率下的短和长距离连接。其影响是多种多样的，对于一些基本的争论可能有重大意义，比如大脑是否在一个临界点附近工作，以及包括简化大脑的数字重建和模拟的先进工具的应用。

1.简述

在本研究中，我们在两个不同的数据集中，以五种解剖分辨率重建了84名健康受试者的多尺度人类(MH)连接体。首先，我们测量了每个尺度上连接体的网络属性，发现随着观察分辨率的逐渐降低，它们的结构保持自相似。其次，获取每个连接体最高分辨率层的双曲图，应用GR进行多尺度展开。在每个尺度上，我们发现经验观察和模型给出的预测之间有惊人的一致性。第三，我们探讨了连接体几何属性的损害对自相似性和导航的影响。总之，我们的结果表明，同样的规则解释了在数据集覆盖的长度尺度范围内大脑中短程和远程连接的形成，并支持GR作为人类大脑多尺度结构的一个有效原型模型。

2.结果

2.1MH连接体自相似性的经验证据

我们使用了两个不同的数据集，总共有84名健康人类受试者。第一个数据集包含在UL扫描的40例受试者的磁共振弥散谱数据。神经纤维通过最大扩散方向跟踪连接区域对。第二个数据集用于交叉验证结果，包含了44个测试重测子样本的健康受试者的多尺度连接体。采用约束球面反褶积技术计算的体素内纤维取向分布函数(fODFs)估计纤维束。采用确定性流线纤维示踪方法两个数据集的所有连接体，并获得皮层的多尺度分割。即使UL数据集比HCP稀疏得多，但在两个队列中都发现了类似的结果。

对于每个受试者，我们重建了一个具有不同解剖分辨率的五层多尺度连接体。每一层的节点对应皮层和皮层下区域(不包括脑干)，连接表示它们之间存在纤维。多尺度分割在解剖学上是分层的，通过迭代从l=0层开始的粗粒化操作来获得，以产生一个降低分辨率的后续层。该技术将两个或三个相邻的脑区分组，建立一个新的脑分区，并重新计算每对产生的脑分区之间的连接密度。这些层大约包含1014;462;233;128;82个节点(这些数字在受试者之间略有波动)，分别标记为l =0, 1, 2, 3, 4。层次的结构粗粒化决定了表征多尺度连接体的长度尺度序列。随着分辨率的降低，每个节点对应着一个更大的脑分区，并且由流线纤维示踪计算出的连接的平均纤维长度也增加了，因为粗粒度的分区吸收了短距离的连接(图1)。

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图1 UL被试10和HCP被试15不同分辨率MH连接体中连接的的平均纤维长度

对每个被试的每一层，测量如下特征：互补累计度分布；利用最近邻的归一化平均度进行度相关；度依赖的聚类系数；富人俱乐部系数；平均度；平均聚类系数。这些量是作为缩放的程度的函数来计算的以解释各层平均度的变化。图2显示了UL数据集中一个典型受试者的结果。图2A-D曲线的重叠表示跨层自相似性度分布、度相关性程度,聚类,富人俱乐部效果(注意图2D省略了高度阈值对应的值,以避免将图弄乱,因为相应的子图通常是小,因此,很杂乱)。

图2B,C插入部分显示了MH连接体的跨五层平均聚类系数、平均度。随着分辨率增加（l从0-4），的增加首先是轻微的，然后更加显著，这解释了图2B对应曲线的移动。另一方面，在第3层和第4层先略微增加，与几乎恒定的平均度相一致，然后显著减少。MH连接体的最后两层更容易受到有限尺寸效应的影响，因为它们的节点数量更少，而且还受到解剖区域表面积更高的变异性的影响，这可能会导致流线确定的偏差。

最后，用Louvain方法推测社区分区。监测到的分区的模块度Qemp(l)如图2E，伴随着在0层检测到的社区分区和模块度为Qemp(l,0)的层l中的社区分区引起的层0的社区分区之间调整的互信息。不同分辨率下的社区之间的重叠仍然很重要，即使模块性略有减弱，特别是在最后两层，有限尺寸的影响由于其减小而更强。

总之，我们的结果强烈支持每个MH连接体在数据集中的自相似性。此外，我们发现每个数据集中不同主体的连接体彼此相似。图2F-J显示了UL数据集中每个受试者在第0层测量的属性，图2 AE中使用的受试者被突出显示。关于UL数据集中其他层的信息可以在SI附录图中找到。S10和S11, SIAppendix,图S29和S30为HCP数据集的所有层提供结果。评估每个连接体在l =0时与队列平均一致性的统计检验结果进一步支持了数据集内受试者之间的同质性。对于每个连接体，我们比较了节点的度、节点邻接节点的度和以及每个节点参与的三角形数量与相应的队列平均值。对每个脑区，通过计算所有主体这些特征的标准差和均值得到队列平均值。

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图2 MH连接体不同分辨率下的自相似性

2.2人体连接体的几何重整

我们现在证明，观察到的真实MH连接体的尺度不变性可以用几何网络模型来解释，其中的距离不是欧几里德的，其中包括一个重正化协议。

2.2.1连接体的几何描述

连接体图是基于S1网络模型的。每个脑区i表征为两个随机变量：一个隐藏度ki，量化其受欢迎程度并设置其连接规模，一个一维球体中的角位置θi；或者相似空间，聚集所有其他调节连接可能性的属性，包括但不限于大脑的欧几里德生理三维(3D)嵌入。

S1模型中连接体是成对的，其概率为引力定律形式：

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因此，两个节点之间的链接的可能性随着它们的隐藏度的乘积而增加，随着它们的角距离的减小(因此随着它们的相似度的增加)。参数μ控制模型产生的合成连接体的平均度，β控制聚类水平，以及网络的拓扑和它的几何之间的耦合强度。角距：联合相似子空间的半径R给出相似距离。该模型通过对节点赋值隐变量，从一些异构分布中提取隐含度，从而产生同时具有小世界、高度聚集性、异构度分布和丰富俱乐部的网络。公式1的一个重要特征是，它同时编码所有距离上的长距离和短距离连接的可能性，因此无需用不同的机制来描述。该模型的另一个相关性质是，节点i的期望度与其隐藏度Ki成正比。

相似性捕获了大脑区域之间的亲和力，当两个大脑区域在相似空间中接近时，它们更相似，更有可能形成连接。结果之一是，与网络的其他部分相比，在相似空间中接近的节点组往往具有更强的相互联系。因此,推断大脑区域的角位置相似子空间提供的社区结构信息分析连接体和神经解剖学的相关信息,与节点属于相同的神经解剖学的地区强烈的集中在一个狭窄的角部分相似度空间。请注意，欧氏距离当然是一个重要的因素，但并不是唯一决定相似距离的因素，它也与大脑生成模型中使用的亲同性吸引测量值负相关。

S1模型有一个同构纯几何形式H2模型，该模型通过将隐度转换为径向坐标，将受欢迎度和相似度维度合并为双曲平面上的单个距离。真实连接体中节点的流行度和相似度坐标，即双曲映射，可以通过使用统计推理来找到坐标，以最大可能地再现我们的几何模型的真实连接体的结构。

UL被试no.10的嵌入如图3.图3A显示了l =0时的地图，根据l =4层的82个粗粒度区域对节点着色。由圆盘边缘的红框和绿框所表示的左右半球自然分开，属于同一大脑区域的节点聚集在附近的角度位置上。这与之前的结果一致。为测试嵌入精确性，用公式1产生100个合成网络整体。我们比较了这个整体的拓扑性质与那些在真实连接体上测量的结果。图3B-D显示了互补累计度分布、度依赖聚类系数、最近邻平均度以及富人俱乐部系数的结果。图3E-G显示了真实连接体与合成整体的局部特征——度、邻居的度之和、节点参与的三角数之间的很好的一致性。结果表明，所生成的网络能以显著的精度再现拓扑性质。

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图3 UL被试10的双曲连接体图

2.2.2 GR变换

考虑到连接体可通过S1模型很好的描述，连接体映射在l =0处的相似距离允许应用重正化技术对它们在不同分辨率下的特性进行系统研究。给定连接体地图，参考文献19中引入的GR转换通过捕获粗粒度节点组之间的更长的连接，产生了一个具有较低分辨率的自相似、缩小的副本，从而使相似性空间中决定长度规模的连接的平均长度增长。

在得到l =0层的嵌入后，GR变换通过在相似圈中定义大小为r =2的连续节点的非重叠块，粗粒化形成超级节点。在块内节点定义的相似子空间的区域内为超节点分配一个角坐标，保持了原始的角排序。第二，当且仅当i块中至少有一个节点连接到原层中j块中至少一个节点时，新层中有两个超级节点i和j相连。如果超节点的隐变量在新图中如式2，则结果层有一个与S1模型高度一致的几何描述

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2.2.3人连接体的多尺度GR壳

我们将GR变换应用于每个受试者的第0层连接体图。通过四次迭代变换，得到每个连接体的五层多尺度外壳。由于第0层大约包含1014个节点，因此GR产生的每一层有507;254;127;和64个节点，与MH连接体层中462；233;128;82个节点进行比较。

如图4B,C,分布p(Δθs)是MH和GR图的相似性。在两种情况下，所有的分布都在低平均角分离附近达到峰值，即使MH分布可以达到较大的值。当我们将任意一层子节点的角分布与l =4层对应的超级节点的角分布进行比较时，平均而言，超级节点内子节点的角间隔也较小(图4b，插图)。粗粒度解剖区域内低平均角度分离的保存，即MH地图相似性的保存，表明推断的坐标在尺度上是一致的，并编码了连接体分层解剖结构的重要信息。即使每个层都是独立嵌入的。

由于超级节点是由相似空间内的粗粒化邻近节点产生的，因此保持了原始的排序，因此GR流很好地再现了这一特征。

我们将图2所示MH连接体的拓扑性质与相应GR壳层中每一层计算的拓扑性质进行了比较;见图4 D-H。模型是否也能够随着观察到的分辨率的递增在经验连接的增加纤维长度递增(图1),我们计算在每个上层留在超节点之外层0连接的平均纤维长度(图4 G)。这两条曲线非常吻合，这意味着真实的多尺度连接体所覆盖的长度尺度范围与模型中的长度尺度范围是一致的。图4H是GR壳模块度和调整的归一化互信息。在流动过程中，模块结构得到了很大程度的保留，调整后的互信息值与MH连接体中测量到的相似。我们还报道了MH连接体每一层的拓扑群落之间的重叠，以及在0层上的投影中测量到的GR流。这里，GR壳很好的近似了真实连接体的社区结构。

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图4 MH连接体双曲图和GR流

最后，图5给出了MH连接体中欧氏距离(区域中心之间的三维距离)和GR壳中有效双曲距离的经验连接概率。尽管图5A中连接概率的缩放，欧氏距离本身并不包含足够的信息来解释MH连接体的连接属性。如图5 C和D所示，基于欧氏距离的模型无法再现经验观测结果。欧氏距离当然是一个重要的因素，但不是唯一一个可靠地再现MH连接体的拓扑属性所需的决定相似性距离的因素。作为对比，GR技术的基础——基于相似性距离S1模型的你和是非常好的。

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图5 连接的经验和理论概率

综上所述，GR可以自然准确地预测MH连接体的尺度不变性和自相似性。事实上，GR提供了重新调整的层次，在统计上模拟了更大尺度的大脑结构，只使用了在单一分辨率下测量的结构信息。让我们再次强调，在GR重常态化过程中，从一个分辨率到另一个分辨率时，没有使用关于MH连接体中大脑区域解剖粗粒化的新信息;我们只是从最高分辨率的经验数据中推断出一个几何图，并在这个空间中使用连续的节点来产生每个重正化层的结构。

2.2.4 自相似性和可航性（navigability）

双曲网络图维持了有效的导航，这一显著的发现也适用于大脑。

为了检查连接体在不同分辨率下的可航性，我们实现了贪婪路由，这是一种去中心化的通信协议，在该协议中，一个源节点沿着它的度量空间中最接近目标节点的邻居发送一条消息。贪婪路由的表现由成功率ps和成功贪婪路径的平均伸展力s bar测量。我们研究了在解剖欧几里德嵌入的导航，在双曲平面上的个体MH嵌入的集合，以及所有UL受试者的GR壳;结果如图6所示。

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图6 不同分辨率MH连接体可航性和GR壳

3.讨论 人类大脑的结构跨越了一系列的长度尺度，这放大了它的复杂性，否则就会受到总体模式的限制。我们发现自相似性是人类连接体多尺度结构中的一种模式，矛盾的是，它将简单作为一个组织原则。 在我们的工作中，简单有着非常精确的含义。它指出，连接体的结构和解释这种结构的基础连接规则独立于观察的规模(至少在本工作涵盖的规模内)。换句话说，不需要为每个比例设置特定的规则。