维特比算法和隐马尔可夫模型的解码

一、概述

  维特比算法是安德鲁.维特比(Andrew Viterbi)于1967年为解决通信领域中的解码问题而提出的，它同样广泛用于解决自然语言处理中的解码问题，隐马尔可夫模型的解码是其中典型的代表。无论是通信中的解码问题还是自然语言处理中的解码问题，本质上都是要在一个篱笆网络中寻找得到一条最优路径。   所谓篱笆网络，指的是单向无环图，呈层级连接，各层节点数可以不同。如图是一个篱笆网络，连线上的数字是节点间概念上的距离（如间距、代价、概率等），现要找到一条从起始点到终点的最优路径。

  在实际问题中，节点数和层数往往是大量的，因而采取遍历所有的路径计算其距离进行比较的方式是不可行的。维特比算法正是通过动态规划的方式高效求得这条最优路径。

二、维特比算法

1.算法原理

  该问题具有这样一个特性，对于最优（如最短距离）的路径，任意一段子路径一定是该段两端点间所有可达路径中最优的，如若不然，将该段中更优的子路径接到两端点便构成了另一个整体最优路径，这是矛盾的。或者说，最优路径中，从起始点到由近及远的任一点的子路径，一定是该段所有可达路径中最优的。也即，整体最优，局部一定最优。

  该特性也就是说，对每个节点而言，如果最优路径经过这一点，则一定是经过从起始点到这点的这段最优路径。那么，只要从头开始，由局部向整体推进，渐次地找到起始点到当前点的最优路径，算至终点便得到了整体最优路径。这样的方式叫做动态规划，是维特比算法的基本思想。 维特比算法求解篱笆网络最短路径的过程为：   从第一层开始，对每一层的每一个节点，计算出起始点到它的最短距离，并记录下相应最短路径下它的前一个节点，逐层递推，算至终止点时便得到了整体最短距离，再依照节点记录下的前置节点进行回溯，就得到了最短路径的序列。对第ii层第jj个节点Pi,jPi,j，假设起始点到它的最短距离为D(Pi,j)D(Pi,j)，相应最短路径下它的前一个节点为Pre(Pi,j)Pre(Pi,j)，则

D(Pi,j)=min1≤k≤N[Di−1,k+d(Pi−1,k,Pi,j)]D(Pi,j)=min1≤k≤N[Di−1,k+d(Pi−1,k,Pi,j)]

也就是，对前一层的所有节点，计算每一个节点的记录的最短距离D与它到当前节点的距离d的和，取其中最小的那个值（其中， d(A,B)d(A,B)表示A,B两节点间的距离。）.

Pre(Pi,j)=Pi−1,j∗=argmin1≤k≤N[Di−1,k+d(Pi−1,k,Pi,j)]Pre(Pi,j)=Pi−1,j∗=argmin1≤k≤N[Di−1,k+d(Pi−1,k,Pi,j)]

也就是，满足距离最短的那条路径上在前一层的节点.

2.示例

  在如下网络中，连线上的数字是节点间的距离，求S点到E点的最短距离和与之对应的路径。

第一层： 对节点P1,1P1,1， 起始点到它只有一条路径，最短距离D(P1,1)=2D(P1,1)=2，前一个节点Pre(P1,1)=SPre(P1,1)=S；

对节点P1,2P1,2， 起始点到它只有一条路径，最短距离 D(P1,2)=1D(P1,2)=1，前一个节点Pre(P1,2)=SPre(P1,2)=S；

对节点P1,3P1,3， 起始点到它只有一条路径，最短距离D(P1,3)=3D(P1,3)=3，前一个节点Pre(P1,3)=SPre(P1,3)=S 。

第二层： 对节点 P2,1P2,1， D(P1,1)+d(P1,1，P2,1)=2+3=5D(P1,1)+d(P1,1，P2,1)=2+3=5， D(P1,2)+d(P1,2，P2,1)=1+2=3D(P1,2)+d(P1,2，P2,1)=1+2=3 ， D(P1,3)+d(P1,3，P2,1)=3+9=12D(P1,3)+d(P1,3，P2,1)=3+9=12， 最短距离 D(P2,1)=min{5,3,12}=3D(P2,1)=min{5,3,12}=3，前一个节点Pre(P2,1)=P1,2Pre(P2,1)=P1,2 ;

对节点P2,2P2,2 ， D(P1,1)+d(P1,1，P2,2)=2+6=8D(P1,1)+d(P1,1，P2,2)=2+6=8， D(P1,2)+d(P1,2，P2,2)=1+5=6D(P1,2)+d(P1,2，P2,2)=1+5=6， D(P1,3)+d(P1,3，P2,2)=3+2=5D(P1,3)+d(P1,3，P2,2)=3+2=5， 最短距离D(P2,2)=min{8,6,5}=5D(P2,2)=min{8,6,5}=5，前一个节点Pre(P2,2)=P1,3Pre(P2,2)=P1,3 ;

对节点P2,3P2,3， D(P1,1)+d(P1,1，P2,3)=2+4=6D(P1,1)+d(P1,1，P2,3)=2+4=6 ， D(P1,2)+d(P1,2，P2,3)=1+7=8D(P1,2)+d(P1,2，P2,3)=1+7=8， D(P1,3)+d(P1,3，P2,3)=3+6=9D(P1,3)+d(P1,3，P2,3)=3+6=9 ， 最短距离D(P2,3)=min{6,8,9}=6D(P2,3)=min{6,8,9}=6，前一个节点Pre(P2,3)=P1,1Pre(P2,3)=P1,1 ;

第三层： 对节点 P3,1P3,1， D(P2,1)+d(P2,1，P3,1)=3+9=12D(P2,1)+d(P2,1，P3,1)=3+9=12， D(P2,2)+d(P2,2，P3,1)=5+2=7D(P2,2)+d(P2,2，P3,1)=5+2=7， D(P2,3)+d(P2,3，P3,1)=6+6=12D(P2,3)+d(P2,3，P3,1)=6+6=12， 最短距离D(P3,1)=min{12,7,12}=7D(P3,1)=min{12,7,12}=7，前一个节点Pre(P3,1)=P2,2Pre(P3,1)=P2,2;

对节点P3,2P3,2， D(P2,1)+d(P2,1，P3,2)=3+3=6D(P2,1)+d(P2,1，P3,2)=3+3=6， D(P2,2)+d(P2,2，P3,2)=5+6=11D(P2,2)+d(P2,2，P3,2)=5+6=11， D(P2,3)+d(P2,3，P3,2)=6+3=9D(P2,3)+d(P2,3，P3,2)=6+3=9， 最短距离D(P3,2)=min{6,11,9}=6D(P3,2)=min{6,11,9}=6，前一个节点Pre(P3,2)=P2,1Pre(P3,2)=P2,1;

对节点P3,3P3,3， D(P2,1)+d(P2,1，P3,3)=3+8=11D(P2,1)+d(P2,1，P3,3)=3+8=11， D(P2,2)+d(P2,2，P3,3)=5+7=12D(P2,2)+d(P2,2，P3,3)=5+7=12， D(P2,3)+d(P2,3，P3,3)=6+4=10D(P2,3)+d(P2,3，P3,3)=6+4=10， 最短距离D(P3,3)=min{11,12,10}=10D(P3,3)=min{11,12,10}=10，前一个节点Pre(P3,3)=P2,3Pre(P3,3)=P2,3;

第四层（终点）： 对节点 EE， D(P3,1)+d(P3,1，E)=7+3=10D(P3,1)+d(P3,1，E)=7+3=10， D(P3,2)+d(P3,2，E)=6+7=13D(P3,2)+d(P3,2，E)=6+7=13， D(P3,3)+d(P3,3，E)=10+6=16D(P3,3)+d(P3,3，E)=10+6=16， 最短距离D(E)=min{10,13,16}=10D(E)=min{10,13,16}=10，前一个节点Pre(E)=P3,1Pre(E)=P3,1;

又Pre(E)=P3,1Pre(E)=P3,1，Pre(P3,1)=P2,2Pre(P3,1)=P2,2，Pre(P2,2)=P1,3Pre(P2,2)=P1,3，Pre(P1,3)=SPre(P1,3)=S 故最短距离为10，与之对应的路径为（SS，P1,3P1,3，P2,2P2,2，P3,1P3,1，EE）.

三、隐马尔可夫模型的解码

1.问题描述

  隐马尔可夫模型（HMM）的解码问题指，给定模型和输出序列，如何找出最有可能产生这个输出的状态序列。自然语言处理中，也即如何通过观测信号确定最有可能对应的实际语义。在状态序列上，每个状态位是状态集合中的元素之一，因此该问题等价于在状态集合中的节点构成的有向网络（篱笆网络）中找出一条概率最大的路径（最优路径），如图。该问题可以通过维特比算法得到高效的解决。

2.算法叙述

  假设 P(st,j)P(st,j)表示从起始时刻到st,jst,j的最优路径的概率，Pre(st,j)Pre(st,j)表示从起始时刻到 st,jst,j的最优路径上前一个节点，则隐马尔可夫模型的维特比解码算法为：

输入：隐马尔可夫模型 λ=(π,A,B)λ=(π,A,B)和观测 O=(o1,o2,...,oT)O=(o1,o2,...,oT)； 输出：最优状态序列S∗=(s∗1,s∗2,...,s∗T)S∗=(s1∗,s2∗,...,sT∗). (1)初始化 P(s1,j)=πjbj(o1)P(s1,j)=πjbj(o1)， Pre(s1,j)=NonePre(s1,j)=None，j=1,2,...,Nj=1,2,...,N

(2)递推  对 t=2,3,...,Tt=2,3,...,T

P(st,j)=max1≤k≤N[P(st−1,k)akj]bj(ot)P(st,j)=max1≤k≤N[P(st−1,k)akj]bj(ot)

Pre(st,j)=argmax1≤k≤N[P(st−1,k)akj]Pre(st,j)=argmax1≤k≤N[P(st−1,k)akj]

，j=1,2,...,Nj=1,2,...,N.

(3)递推终止  最大概率

P∗=max1≤j≤NP(sT,j)P∗=max1≤j≤NP(sT,j)

 最优路径上的最后一个状态

s∗T=argmax1≤j≤N[P(sT,j)]sT∗=argmax1≤j≤N[P(sT,j)]

(4)回溯路径，确定最优状态序列 S∗=(s∗1,s∗2,...,s∗T−1,s∗T)S∗=(s1∗,s2∗,...,sT−1∗,sT∗) =(Pre(s∗2),Pre(s∗3),...,Pre(s∗T),s∗T)=(Pre(s2∗),Pre(s3∗),...,Pre(sT∗),sT∗)

3.示例

（参考自《统计学习方法》） 状态集合 Q={q1,q2,q3}Q={q1,q2,q3}，观测集合V={0,1}V={0,1}，模型 λ=(π,A,B)λ=(π,A,B) ，

A=⎡⎣⎢0.50.30.20.20.50.30.30.20.5⎤⎦⎥A=[0.50.20.30.30.50.20.20.30.5] , B=⎡⎣⎢0.50.40.70.50.60.3⎤⎦⎥B=[0.50.50.40.60.70.3],π=(0.2,0.4,0.4)Tπ=(0.2,0.4,0.4)T

已知观测序列O=(0,1,0)O=(0,1,0)，求最优状态序列。

解： (1)在t=1时（初始化），对每一个状态，求观测为0的最大概率 P(s1,1)=0.2×0.5=0.1P(s1,1)=0.2×0.5=0.1，Pre(s1,1)=NonePre(s1,1)=None P(s1,2)=0.4×0.4=0.16P(s1,2)=0.4×0.4=0.16，Pre(s1,2)=NonePre(s1,2)=None P(s1,3)=0.4×0.7=0.28P(s1,3)=0.4×0.7=0.28，Pre(s1,3)=NonePre(s1,3)=None

(2)在t=2时，对每一个状态，求观测为1的  最大概率

P(s2,j)=max1≤k≤3[P(s1,k)akj]bj(1)P(s2,j)=max1≤k≤3[P(s1,k)akj]bj(1)

 当前最优的前一个状态

Pre(s2,j)=argmax1≤k≤3[P(s1,k)akj]Pre(s2,j)=argmax1≤k≤3[P(s1,k)akj]

，j=1,2,3.j=1,2,3.

P(s2,1)=max{0.1×0.5×0.5,0.16×0.3×0.5,0.28×0.2×0.5}P(s2,1)=max{0.1×0.5×0.5,0.16×0.3×0.5,0.28×0.2×0.5}=0.028=0.028

Pre(s2,1)=s1,3=q3Pre(s2,1)=s1,3=q3

P(s2,2)=max{0.1×0.2×0.6,0.16×0.5×0.6,0.28×0.3×0.6}P(s2,2)=max{0.1×0.2×0.6,0.16×0.5×0.6,0.28×0.3×0.6}=0.0504=0.0504

Pre(s2,2)=s1,3=q3Pre(s2,2)=s1,3=q3

P(s2,3)=max{0.1×0.3×0.3,0.16×0.2×0.3,0.28×0.5×0.3}P(s2,3)=max{0.1×0.3×0.3,0.16×0.2×0.3,0.28×0.5×0.3}=0.042=0.042

Pre(s2,3)=s1,3=q3Pre(s2,3)=s1,3=q3

(3)在t=3时，对每一个状态，求观测为0的  最大概率

P(s3,j)=max1≤k≤3[P(s2,k)akj]bj(0)P(s3,j)=max1≤k≤3[P(s2,k)akj]bj(0)

 当前最优的前一个状态

Pre(s3,j)=argmax1≤k≤3[P(s2,k)akj]Pre(s3,j)=argmax1≤k≤3[P(s2,k)akj]

，j=1,2,3.j=1,2,3.

P(s3,1)=max{0.028×0.5×0.5,0.0504×0.3×0.5,0.042×0.2×0.5}P(s3,1)=max{0.028×0.5×0.5,0.0504×0.3×0.5,0.042×0.2×0.5}=0.00756=0.00756

Pre(s3,1)=s2,2=q2Pre(s3,1)=s2,2=q2

P(s3,2)=max{0.028×0.2×0.4,0.0504×0.5×0.4,0.042×0.3×0.4}P(s3,2)=max{0.028×0.2×0.4,0.0504×0.5×0.4,0.042×0.3×0.4}=0.01008=0.01008

Pre(s3,2)=s2,2=q2Pre(s3,2)=s2,2=q2

P(s3,3)=max{0.028×0.3×0.7,0.0504×0.2×0.7,0.042×0.5×0.7}P(s3,3)=max{0.028×0.3×0.7,0.0504×0.2×0.7,0.042×0.5×0.7}=0.0147=0.0147

Pre(s3,3)=s2,3=q3Pre(s3,3)=s2,3=q3

(4)得到结果.  最大概率 P∗=max1≤j≤3P(s3,j)P∗=max1≤j≤3P(s3,j) =max{0.00756,0.01008,0.0147}=max{0.00756,0.01008,0.0147} =0.0147=0.0147  最优状态序列 S∗=(Pre(s∗2)t,Pre(s∗3),s∗3)S∗=(Pre(s2∗)t,Pre(s3∗),s3∗) =(s1,3,s2,3,s3,3)=(s1,3,s2,3,s3,3) =(q3,q3,q3)=(q3,q3,q3)

4.python实现

对上述HMM解码示例的python实现程序为

import numpy as np

def viterbi(pi, A, B, Q, V, obs_seq):
    '''
    :param pi:HMM初始状态概率向量，list类型
    :param A:HMM状态转移概率矩阵，list类型
    :param B:HMM观测生成概率矩阵，list类型
    :param Q:状态集合，list类型
    :param V:观测集合，list类型
    :param obs_seq:观测序列，list类型
    :return:最优状态序列的概率sta_pro，float类型；最优状态序列sta_seq，list类型
    '''

    # HMM模型参数转换为array类型
    pi = np.array(pi)
    A = np.array(A)
    B = np.array(B)

    # 1.定义动态计算结果存储矩阵
    rowNum = len(Q)  # 行数，状态数
    colNum = len(obs_seq)  # 列数，生成的观测数，即时刻数

    # 存储节点当前最大概率的矩阵
    probaMatrix = np.zeros((rowNum,colNum))

    # 存储当前最优路径下的前一个节点的矩阵
    preNodeMatrix = np.zeros((rowNum,colNum))

    # 2.初始化（第1时刻）
    probaMatrix[:,0] = pi*np.transpose(B[:,obs_seq[0]])
    preNodeMatrix[:,0] = [-1]*rowNum  # 第1时刻节点的前一个节点不存在，置为-1

    # 3.递推，第2时刻至最后
    for t in range(1, colNum):
        list_pre_max_proba = []  # 节点最大前置概率列表
        list_pre_node = []  # 节点当前最优路径中前一个节点列表
        for j in range(rowNum):
            pre_proba_list = list(np.array(probaMatrix[:,t-1])*np.transpose(A[:,j]))  # 前置概率列表，前一时刻的节点最大概率与到当前节点转移概率的乘积
            '''
            注：因为计算机的二进制机制对小数的表达是有限的，所以对小数作运算将产生一定的误差。
            在使用函数获取pre_proba_list中的最大值和对应的索引时，为有效降低这种误差，将数据放大后再进行操作。
            '''
            pre_proba_list = [x*pow(10,5) for x in pre_proba_list]  # 放大100000倍
            prePro = max(pre_proba_list)/pow(10,5)  # 最大前置概率
            preNodeIndexNum = pre_proba_list.index(max(pre_proba_list))  # 前置节点的索引号
            list_pre_max_proba.append(prePro)  # 最大前置概率加入列表
            list_pre_node.append(preNodeIndexNum)  # 前置节点的索引号加入列表

        probaMatrix[:,t] = np.array(list_pre_max_proba)*np.transpose(B[:,obs_seq[t]])  # 最大前置概率乘上观测概率，即为当前最大概率
        preNodeMatrix[:,t] = list_pre_node  # 将该列前置节点索引号加入矩阵

    # 此时，得到了完整的probaMatrix和preNodeMatrix，对这两个矩阵进行操作便可得到需要的结果
    # 4.得到最大概率
    maxPro = np.max(probaMatrix[:, colNum-1])  # 全局最大概率（即最后一列的最大值）

    # 5.得到最优状态序列的状态索引号列表
    lastStateIndexNum = np.argmax(probaMatrix[:, colNum-1])  # 最优状态序列中最后一个状态的索引号
    stateIndexList = []  # 定义最优状态的索引号列表
    stateIndexList.append(lastStateIndexNum)

    # 回溯，完成状态索引号列表
    currentIndex = lastStateIndexNum;
    for t in range(colNum-1, 0, -1):
        fls = preNodeMatrix[:, t].tolist()  # 矩阵中的数值是浮点型
        ls = list(map(int, fls))  # 转为整型
        currentIndex = ls[currentIndex]
        stateIndexList.append(currentIndex)

    stateIndexList.reverse()  # 反转列表

    # 6.由索引号序列得到最优状态序列
    stateSeq = [Q[i] for i in stateIndexList]

    return maxPro,stateSeq

if __name__=='__main__':
    # 状态集合
    Q = ["q1", "q2", "q3"]

    # 观测集合
    V = [0, 1]

    # 初始状态概率向量
    pi = [0.2, 0.4, 0.4]

    # 状态转移概率矩阵
    A = [[0.5, 0.2, 0.3],
         [0.3, 0.5, 0.2],
         [0.2, 0.3, 0.5]]

    # 观测概率矩阵
    B = [[0.5, 0.5],
         [0.4, 0.6],
         [0.7, 0.3]]

    # 观测序列
    obs_seq = [0, 1, 0]

    maxPro, stateSeq = viterbi(pi, A, B, Q, V, obs_seq)

    print("最大概率为：", maxPro)
    print("最优状态序列为：", stateSeq)