剑指offer | 面试题26：二叉搜索树的后序遍历序列

千羽

发布于 2021-12-29 13:23:18

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发布于 2021-12-29 13:23:18

文章被收录于专栏：程序员千羽

死磕算法系列文章

“Leetcode : https://leetcode-cn.com/problems/er-cha-sou-suo-shu-de-hou-xu-bian-li-xu-lie-lcof
“GitHub : https://github.com/nateshao/leetcode/blob/main/algo-notes/src/main/java/com/nateshao/sword_offer/topic_26_verifyPostorder/Solution.java

剑指 Offer 26. 二叉搜索树的后序遍历序列

题目描述 ：输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true，否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

参考以下这颗二叉搜索树：

示例 1：

输入: [1,6,3,2,5]
输出: false

示例 2：

输入: [1,3,2,6,5]
输出: true

解题思路：

后序遍历定义： [ 左子树 | 右子树 | 根节点 ] ，即遍历顺序为 “左、右、根” 。
二叉搜索树定义：
- 左子树中所有节点的值 < 根节点的值；
- 右子树中所有节点的值 > 根节点的值；
- 其左、右子树也分别为二叉搜索树。

方法一：递归

根据二叉搜索树的定义，可以通过递归，判断所有子树的 正确性 （即其后序遍历是否满足二叉搜索树的定义），若所有子树都正确，则此序列为二叉搜索树的后序遍历。

递归解析：

终止条件： 当 i ≥ j，说明此子树节点数量 ≤ 1 ，无需判别正确性，因此直接返回 true ；
递推工作:
- 左子树区间[i, m- 1]内的所有节点都应< postorder[j]。而第1. 划分左右子树步骤已经保证左子树区间的正确性，因此只需要判断右子树区间即可。
- 右子树区间[m,j- 1]内的所有节点都应> postorder[j] 。实现方式为遍历，当遇到≤ postorder[j] 的节点则跳出；则可通过 p = j 判断是否为二叉搜索树。
1. 划分左右子树：遍历后序遍历的[i,j] 区间元素，寻找第一个大于根节点的节点，索引记为m 。此时，可划分出左子树区间[i,m- 1]、右子树区间[m,j- 1]、根节点索引 j。
2. 判断是否为二叉搜索树：
返回值：所有子树都需正确才可判定正确，因此使用 与逻辑符 &&连接。
1. p=j ：判断此树否正确。
2. recur(i,m- 1) ：判断 此树的左子树 否正确。
3. recur(m,j-1) ：判断 此树的右子树 是否正确。

复杂度分析：

时间复杂度 O(N^2) ： 每次调用 recur(i,j) 减去一个根节点，因此递归占用 O(N) ；最差情况下（即当树退化为链表），每轮递归都需遍历树所有节点，占用 O(N) 。
空间复杂度 O(N) ： 最差情况下（即当树退化为链表），递归深度将达到 N 。

package com.nateshao.sword_offer.topic_26_verifyPostorder;

import java.util.Stack;

/**
 * @date Created by 邵桐杰 on 2021/11/30 14:22
 * @微信公众号 程序员千羽
 * @个人网站 www.nateshao.cn
 * @博客 https://nateshao.gitee.io
 * @GitHub https://github.com/nateshao
 * @Gitee https://gitee.com/nateshao
 * Description:
 */
public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        int[] postorder = {1, 3, 2, 6, 5};
        int[] postorder2 = {1, 6, 3, 2, 5};// false
        int[] postorder3 = {1, 6, 3, 2, 5};// false
        System.out.println("递归：(postorder) = " + verifyPostorder(postorder));
        System.out.println("递归：(postorder2) = " + verifyPostorder(postorder2));
    }
    
    public static boolean verifyPostorder(int[] postorder) {
        return recur(postorder, 0, postorder.length - 1);
    }

    public static boolean recur(int[] postorder, int i, int j) {
        if (i >= j) return true;
        int p = i;
        while (postorder[p] < postorder[j]) p++;
        int m = p;
        while (postorder[p] > postorder[j]) p++;
        return p == j && recur(postorder, i, m - 1) && recur(postorder, m, j - 1);
    }
    /**
     * 递归：(postorder) = true
     * 递归：(postorder2) = false
     */
}

方法二：栈

后序遍历倒序： [ 根节点 | 右子树 | 左子树 ] 。类似 先序遍历的镜像 ，即先序遍历为 “根、左、右” 的顺序，而后序遍历的倒序为 “根、右、左” 顺序。

算法流程：

初始化： 单调栈stack，父节点值root = +∞(初始值为正无穷大，可把树的根节点看为此无穷大节点的左孩子) ;
倒序遍历postorder： 记每个节点为ri;
1. 判断： 若ri > root，说明此后序遍历序列不满足一叉搜索树定义，直接返回false ;
2. 更新父节点root： 当栈不为空且ri < stack:peek()时，循环执行出栈，并将出栈节点赋给root
3. 入栈： 将当前节点ri入栈;
若遍历完成，则说明后序遍历满足二叉搜索树定义，返回true。

package com.nateshao.sword_offer.topic_26_verifyPostorder;

import java.util.Stack;

/**
 * @date Created by 邵桐杰 on 2021/11/30 14:22
 * @微信公众号 程序员千羽
 * @个人网站 www.nateshao.cn
 * @博客 https://nateshao.gitee.io
 * @GitHub https://github.com/nateshao
 * @Gitee https://gitee.com/nateshao
 * Description: 二叉搜索树的后序遍历序列
 */
public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        int[] postorder3 = {1, 6, 3, 2, 5};// false
        System.out.println("栈：(postorder3) = " + verifyPostorder2(postorder3));
    }

    /**
     * 方法二：栈
     *
     * @param postorder
     * @return
     */
    public static boolean verifyPostorder2(int[] postorder) {
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        //初始化： 单调栈 stackstack ，父节点值 root = +∞ （初始值为正无穷大，可把树的根节点看为此无穷大节点的左孩子）；
        int root = Integer.MAX_VALUE;
        // 倒序遍历 postorder：记每个节点为 i
        for (int i = postorder.length - 1; i >= 0; i--) {
            // 若 ri>root，说明此后序遍历序列不满足二叉搜索树定义，直接返回 false ；
            if (postorder[i] > root) return false;
            // 更新父节点root：当栈不为空且 stack.peek()>ri时，循环执行出栈，并将出栈节点赋给 root
            while (!stack.isEmpty() && stack.peek() > postorder[i])
                root = stack.pop();
            stack.add(postorder[i]); // 入栈： 将当前节点 ri
        }
        return true; //遍历完成，则说明后序遍历满足二叉搜索树定义，返回 true 。
    }
    /**
     * 递归：(postorder) = true
     * 递归：(postorder2) = false
     * 栈：(postorder3) = false
     */
}