Leetcode No.470 用 Rand7() 实现 Rand10()
Leetcode No.470 用 Rand7() 实现 Rand10()
一、题目描述
已有方法 rand7 可生成 1 到 7 范围内的均匀随机整数，试写一个方法 rand10 生成 1 到 10 范围内的均匀随机整数。
不要使用系统的 Math.random() 方法。
示例 1:
输入: 1
输出: [7]
示例 2:
输入: 2
输出: [8,4]
示例 3:
输入: 3
输出: [8,1,10]提示: rand7 已定义。 传入参数: n 表示 rand10 的调用次数。
进阶: rand7()调用次数的 期望值 是多少 ? 你能否尽量少调用 rand7() ?
二、解题思路
1、用rand2()实现rand4()
假设已知rand2()可以均匀的生成[1,2]的随机数，现在想均匀的生成[1,4]的随机数，该如何考虑？
我想如果你也像我一样第一次接触这个问题，那么很可能会这么考虑——令两个rand2()相加，再做一些必要的边角处理。如下：
rand2() + rand2() = ? ==> [2,4]
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4
// 为了把生成随机数的范围规约成[1,n]，于是在上一步的结果后减1
(rand2()-1) + rand2() = ? ==> [1,3]
0 + 1 = 1
0 + 2 = 2
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3可以看到，使用这种方法处理的结果，最致命的点在于——其生成的结果不是等概率的。在这个简单的例子中，产生2的概率是50%，而产生1和3的概率则分别是25%。原因当然也很好理解，由于某些值会有多种组合，因此仅靠简单的相加处理会导致结果不是等概率的。
因此，我们需要考虑其他的方法了。
仔细观察上面的例子，我们尝试对 (rand2()-1) 这部分乘以 2，改动后如下：
(rand2()-1) × 2 + rand2() = ? ==> [1,3]
0 + 1 = 1
0 + 2 = 2
2 + 1 = 3
2 + 2 = 4神奇的事情发生了，奇怪的知识增加了。通过这样的处理，得到的结果恰是[1,4]的范围，并且每个数都是等概率取到的。因此，使用这种方法，可以通过rand2()实现rand4()。
也许这么处理只是我运气好，而不具有普适性？那就多来尝试几个例子。比如：
(rand9()-1) × 7 + rand7() = result
a b为了表示方便，现将rand9()-1表示为a，将rand7()表示为b。计算过程表示成二维矩阵，如下：
可以看到，这个例子可以等概率的生成[1,63]范围的随机数。再提炼一下，可以得到这样一个规律：
已知 rand_N() 可以等概率的生成[1, N]范围的随机数
那么：
(rand_X() - 1) × Y + rand_Y() ==> 可以等概率的生成[1, X * Y]范围的随机数
即实现了 rand_XY()2、用rand4()实现rand2()
那么想到通过rand4()来实现rand2()呢？这个就很简单了，已知rand4()会均匀产生[1,4]的随机数，通过取余，再加1就可以了。如下所示，结果也是等概率的。
rand4() % 2 + 1 = ?
1 % 2 + 1 = 2
2 % 2 + 1 = 1
3 % 2 + 1 = 2
4 % 2 + 1 = 1事实上，只要rand_N()中N是2的倍数，就都可以用来实现rand2()，反之，若N不是2的倍数，则产生的结果不是等概率的。比如：
rand6() % 2 + 1 = ?
1 % 2 + 1 = 2
2 % 2 + 1 = 1
3 % 2 + 1 = 2
4 % 2 + 1 = 1
5 % 2 + 1 = 2
6 % 2 + 1 = 1
rand5() % 2 + 1 = ?
1 % 2 + 1 = 2
2 % 2 + 1 = 1
3 % 2 + 1 = 2
4 % 2 + 1 = 1
5 % 2 + 1 = 23、用rand7()实现rand10()
ok，现在回到本题中。已知rand7()，要求通过rand7()来实现rand10()。
有了前面的分析，要实现rand10()，就需要先实现rand_N()，并且保证N大于10且是10的倍数。这样再通过rand_N() % 10 + 1 就可以得到[1,10]范围的随机数了。
而实现rand_N()，我们可以通过part 1中所讲的方法对rand7()进行改造，如下：
(rand7()-1) × 7 + rand7() ==> rand49()但是这样实现的N不是10的倍数啊！这该怎么处理？这里就涉及到了“拒绝采样”的知识了，也就是说，如果某个采样结果不在要求的范围内，则丢弃它。基于上面的这些分析，再回头看下面的代码，想必是不难理解了。
class Solution extends SolBase {
public int rand10() {
while(true) {
int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7(); // 等概率生成[1,49]范围的随机数
if(num <= 40) return num % 10 + 1; // 拒绝采样，并返回[1,10]范围的随机数
}
}
}腾讯云开发者
