给定一个整数数组 nums ,找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。
示例 1: 输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出:6 解释:连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6 。
示例 2: 输入:nums = [1] 输出:1
示例 3: 输入:nums = [0] 输出:0
示例 4: 输入:nums = [-1] 输出:-1
示例 5: 输入:nums = [-100000] 输出:-100000
提示: 1 <= nums.length <= 3 * 104 -105 <= nums[i] <= 105
假设 nums 数组的长度是 n,下标从 0 到 n−1。
我们用 f(i)代表以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」,那么很显然我们要求的答案就是: max{f(i)} 其中0≤i≤n−1
因此我们只需要求出每个位置的 f(i),然后返回 f 数组中的最大值即可。那么我们如何求 f(i)呢?我们可以考虑 nums[i] 单独成为一段还是加入f(i−1) 对应的那一段,这取决于 nums[i] 和f(i−1)+nums[i] 的大小,我们希望获得一个比较大的,于是可以写出这样的动态规划转移方程: f(i)=max{f(i−1)+nums[i],nums[i]}
不难给出一个时间复杂度 O(n)、空间复杂度 O(n)的实现,即用一个 f 数组来保存 f(i) 的值,用一个循环求出所有 f(i)。
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
//dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])
int n=nums.length;
int[] dp=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++){
dp[i]=0;
}
dp[0]=nums[0];
int rs=dp[0];
for(int i=1;i<n;i++){
dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
rs=Math.max(dp[i],rs);
}
return rs;
}
}
考虑到 f(i) 只和f(i−1) 相关,于是我们可以只用一个变量 pre 来维护对于当前 f(i)的 f(i-1)的值是多少,从而让空间复杂度降低到 O(1),这有点类似「滚动数组」的思想。
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int pre=0;
int maxSum=nums[0];
for(int i=0;i<nums.length;i++){
pre=Math.max(pre+nums[i],nums[i]);
maxSum=Math.max(maxSum,pre);
}
return maxSum;
}
}
复杂度分析
时间复杂度:O(n),其中 n 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。 空间复杂度:O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。
如果 sum > 0,则说明 sum 对结果有增益效果,则 sum 保留并加上当前遍历数字 如果 sum <= 0,则说明 sum 对结果无增益效果,需要舍弃,则 sum 直接更新为当前遍历数字 每次比较 sum 和 ans的大小,将最大值置为ans,遍历结束返回结果
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int sum=0;
int max=nums[0];
for(int i=0;i<nums.length;i++){
if(sum<0){
sum=0;
}
sum+=nums[i];
max=max<sum?sum:max;
}
return max;
}
}
复杂度分析
时间复杂度:O(n),其中 n 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。 空间复杂度:O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。