Leetcode No.53 最大子序和

一、题目描述

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例 1： 输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] 输出：6 解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2： 输入：nums = [1] 输出：1

示例 3： 输入：nums = [0] 输出：0

示例 4： 输入：nums = [-1] 输出：-1

示例 5： 输入：nums = [-100000] 输出：-100000

提示： 1 <= nums.length <= 3 * 104 -105 <= nums[i] <= 105

二、解题思路1：动态规划

假设 nums 数组的长度是 n，下标从 0 到 n−1。

我们用 f(i)代表以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」，那么很显然我们要求的答案就是： max{f(i)} 其中0≤i≤n−1

因此我们只需要求出每个位置的 f(i)，然后返回 f 数组中的最大值即可。那么我们如何求 f(i)呢？我们可以考虑 nums[i] 单独成为一段还是加入f(i−1) 对应的那一段，这取决于 nums[i] 和f(i−1)+nums[i] 的大小，我们希望获得一个比较大的，于是可以写出这样的动态规划转移方程： f(i)=max{f(i−1)+nums[i],nums[i]}

不难给出一个时间复杂度 O(n)、空间复杂度 O(n)的实现，即用一个 f 数组来保存 f(i) 的值，用一个循环求出所有 f(i)。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        //dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])
        int n=nums.length;
        int[] dp=new int[n];
        for(int i=0;i<n;i++){
            dp[i]=0;
        }
        dp[0]=nums[0];
        int rs=dp[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
            rs=Math.max(dp[i],rs);
        }
        return rs;
    }
}

考虑到 f(i) 只和f(i−1) 相关，于是我们可以只用一个变量 pre 来维护对于当前 f(i)的 f(i-1)的值是多少，从而让空间复杂度降低到 O(1)，这有点类似「滚动数组」的思想。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int pre=0;
        int maxSum=nums[0];
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            pre=Math.max(pre+nums[i],nums[i]);
            maxSum=Math.max(maxSum,pre);
        }
        return maxSum;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。 空间复杂度：O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。

三、解题思路2

如果 sum > 0，则说明 sum 对结果有增益效果，则 sum 保留并加上当前遍历数字 如果 sum <= 0，则说明 sum 对结果无增益效果，需要舍弃，则 sum 直接更新为当前遍历数字 每次比较 sum 和 ans的大小，将最大值置为ans，遍历结束返回结果

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int sum=0;
        int max=nums[0];
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            if(sum<0){
                sum=0;
            }
            sum+=nums[i];
            max=max<sum?sum:max;
            
        }
        return max;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，其中 n 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。 空间复杂度：O(1)。我们只需要常数空间存放若干变量。