【机器学习】第三部分壹：逻辑回归
逻辑回归
概述
什么是逻辑回归
逻辑回归（Logistic Regression） 虽然被称为回归，但其实际上是分类模型，常用于二分类。逻辑回归因其简单、可并行化、可解释强而受到广泛应用。二分类（也称为逻辑分类）是常见的分类方法，是将一批样本或数据划分到两个类别，例如一次考试，根据成绩可以分为及格、不及格两个类别，如下表所示：
姓名 | 成绩 | 分类 |
|---|---|---|
Jerry | 86 | 1 |
Tom | 98 | 1 |
Lily | 58 | 0 |
…… | …… | …… |
这就是逻辑分类，将连续值映射到两个类别中。
逻辑函数
逻辑回归是一种广义的线性回归，其原理是利用线性模型根据输入计算输出（线性模型输出值为连续），并在逻辑函数作用下，将连续值转换为两个离散值（0或1），其表达式如下：
y = h(w_1x_1 + w_2x_2 + w_3x_3 + ... + w_nx_n + b)
其中，括号中的部分为线性模型，计算结果在函数h()的作用下，做二值化转换，函数h()的定义为：
h= \frac{1}{1+e^{-t}}
t=w^Tx+b
该函数称为Sigmoid函数（又称逻辑函数），能将(−∞,+∞)的值映射到(0,1)之间，其图像为：
可以设定一个阈值（例如0.5），当函数的值大于阈值时，分类结果为1；当函数值小于阈值时，分类结果为0. 也可以根据实际情况调整这个阈值.
分类问题的损失函数
对于回归问题，可以使用均方差作为损失函数，对于分类问题，如何度量预测值与真实值之间的差异？分类问题采用交叉熵作为损失函数，当只有两个类别时，交叉熵表达式为：
E(y, \hat{y}) = -[y \ log(\hat{y}) + (1-y)log(1-\hat{y})]
其中，y为真实值，\hat{y}为预测值.
- 当y=1时，预测值\hat{y}越接近于1，log(\hat{y})越接近于0，损失函数值越小，表示误差越小，预测的越准确；当预测时\hat{y}接近于0时，log(\hat{y})接近于负无穷大，加上符号后误差越大，表示越不准确；
- 当y=0时，预测值\hat{y}越接近于0，log(1-\hat{y})越接近于0，损失函数值越小，表示误差越小，预测越准确；当预测值\hat{y}接近于1时，log(1-\hat{y})接近于负无穷大，加上符号后误差越大，表示越不准确.
逻辑回归实现
sklearn中，逻辑回归相关API如下：
# 创建模型
# solver参数：逻辑函数中指数的函数关系（liblinear表示线性关系）
# C参数：正则强度，越大拟合效果越小，通过调整该参数防止过拟合
model = lm.LogisticRegression(solver='liblinear', C=1)
# 训练
model.fit(x, y)
# 预测
pred_y = model.predict(x)以下是使用sklearn库提供的逻辑分类器（LogisticRegression）实现的代码：
# 逻辑分类器示例
import numpy as np
import sklearn.linear_model as lm
import matplotlib.pyplot as mp
x = np.array([[3, 1], [2, 5], [1, 8], [6, 4],
[5, 2], [3, 5], [4, 7], [4, -1]])
y = np.array([0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0])
# 创建逻辑分类器对象
model = lm.LogisticRegression()
model.fit(x, y) # 训练
# 预测
test_x = np.array([[3, 9], [6, 1]])
test_y = model.predict(test_x) # 预测
print(test_y)
# 计算显示坐标的边界
left = x[:, 0].min() - 1
right = x[:, 0].max() + 1
buttom = x[:, 1].min() - 1
top = x[:, 1].max() + 1
# 产生网格化矩阵
grid_x, grid_y = np.meshgrid(np.arange(left, right, 0.01),
np.arange(buttom, top, 0.01))
print("grid_x.shape:", grid_x.shape)
print("grid_y.shape:", grid_y.shape)
# 将x,y坐标合并成两列
mesh_x = np.column_stack((grid_x.ravel(), grid_y.ravel()))
print("mesh_x.shape:", mesh_x.shape)
# 根据每个点的xy坐标进行预测，并还原成二维形状
mesh_z = model.predict(mesh_x)
mesh_z = mesh_z.reshape(grid_x.shape)
mp.figure('Logistic Regression', facecolor='lightgray')
mp.title('Logistic Regression', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x, grid_y, mesh_z, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], # 样本x坐标
x[:, 1], # 样本y坐标
c=y, cmap='brg', s=80)
mp.scatter(test_x[:, 0], test_x[:, 1], c="red", marker='s', s=80)
mp.show()执行结果：
补充：L-BFGS算法
多分类实现
逻辑回归产生两个分类结果，可以通过多个二元分类器实现多元分类（一个多元分类问题转换为多个二元分类问题）. 如有以下样本数据：
进行以下多次分类，得到结果：
第一次：分为A类（值为1）和非A类（值为0）
第二次：分为B类（值为1）和非B类（值为0）
第三次：分为C类（值为1）和非C类（值为0）
……
以此类推.
利用逻辑分类器实现多元分类示例代码如下：
# 多元分类器示例
import numpy as np
import sklearn.linear_model as lm
import matplotlib.pyplot as mp
# 输入
x = np.array([[4, 7],
[3.5, 8],
[3.1, 6.2],
[0.5, 1],
[1, 2],
[1.2, 1.9],
[6, 2],
[5.7, 1.5],
[5.4, 2.2]])
# 输出（多个类别）
y = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2])
# 创建逻辑分类器对象
model = lm.LogisticRegression(C=200) # 调整该值为1看效果
model.fit(x, y) # 训练
# 坐标轴范围
left = x[:, 0].min() - 1
right = x[:, 0].max() + 1
h = 0.005
buttom = x[:, 1].min() - 1
top = x[:, 1].max() + 1
v = 0.005
grid_x, grid_y = np.meshgrid(np.arange(left, right, h),
np.arange(buttom, top, v))
mesh_x = np.column_stack((grid_x.ravel(), grid_y.ravel()))
mesh_z = model.predict(mesh_x)
mesh_z = mesh_z.reshape(grid_x.shape)
# 可视化
mp.figure('Logistic Classification', facecolor='lightgray')
mp.title('Logistic Classification', fontsize=20)
mp.xlabel('x', fontsize=14)
mp.ylabel('y', fontsize=14)
mp.tick_params(labelsize=10)
mp.pcolormesh(grid_x, grid_y, mesh_z, cmap='gray')
mp.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=y, cmap='brg', s=80)
mp.show()执行结果：
总结
1）逻辑回归是分类问题，用于实现二分类问题
2）实现方式：利用线性模型计算，在逻辑函数作用下产生分类
3）多分类实现：可以将多分类问题转化为二分类问题实现
4）用途：广泛用于各种分类问题
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