“Leetcode : https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof
“GitHub : https://github.com/nateshao/leetcode/blob/main/algo-notes/src/main/java/com/nateshao/sword_offer/topic_47_dicesProbability/Solution.java
“题目描述 :把n个骰子扔在地上,所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n,打印出s的所有可能的值出现的概率。 你需要用一个浮点数数组返回答案,其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。
难度:中等
示例 1:
输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
示例 2:
输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]
给定n个骰子,可得:
“如下图所际,为输入n=2时,点数组合、点数和、各点数概率的计算过程。
暴力法需要遍历所有点数组合,因此时间复杂度为 O(6^n) ,观察本题输入取值范围 1≤n≤11
设输入 n个骰子的解(即概率列表)为 f(n) ,其中「点数和」 x 的概率为 f(n, x) 。
假设已知n - 1个骰子的解f(n - 1),此时添加一枚骰子,求n个骰子的点数和为x的概率f(n, x) 当添加骰子的点数为1时,前n- 1个骰子的点数和应为x- 1,可组成点数和x ;同理,当此骰 子为2时,前n-1个骰子应为x- 2 ;以此类推,直至此骰子点数为6。将这6种情况的概率相加,即可得到概率f(n. x)。递推公式如下所示:
根据以上分析,知通过子问题的解f(n- 1)可递推计算出f(n),而输入一个骰子的解f(1)已知,因此可通过解f(1)依次递推出任意解f(n)。如下图所际,为n=2,x= 7的递推计算示例。
观察发现,以上递推公式虽然可行,但f(n- 1,x- i)中的x- i会有越界问题。例如,若希望递推计 算f(2,2),由于一个骰子的点数和范围为[1,6] ,因此只应求和f(1,1),即f(1,0),f(1,-1)...f(1,-4)皆无意义。此越界问题导致代码编写的难度提升。
“如下图所示,以上递推公式是“逆向”的,即为了计算f(n,x),将所有与之有关的情况求和;而 倘若改换为“正向”的递推公式,可解决越界问题。
具体来看,由于新增骰子的点数只可能为1至6,因此概率f(n-1,x)仅与f(n,x+ 1), f(n,x + 2), ... f(n,x +6)相关。而,遍历f(n- 1)中各点数和的概率,并将其相加至f(n)中所有相关项,即可完成f(n- 1)至f(n)的递推。
“将f(i)记为动态规划列表形式dp[i,则i= 1, 2, ... n的状态转移过程如下图所示。
复杂度分析:
代码:通常做法是声明一个二维数组dp,dp [i] [j] 代表前i个骰子的点数和j的概率,并执行状态转移。而 于dp[i]仅由dp[i-1]递推得出,为降低空间复杂度,只建立两个一维数组dp,tmp交替前进即可。
public double[] dicesProbability(int n) {
//因为最后的结果只与前一个动态转移数组有关,所以这里只需要设置一个一维的动态转移数组
//原本dp[i][j]表示的是前i个骰子的点数之和为j的概率,现在只需要最后的状态的数组,所以就只用一个一维数组dp[j]表示n个骰子下每个结果的概率。
//初始是1个骰子情况下的点数之和情况,就只有6个结果,所以用dp的初始化的size是6个
double[] dp = new double[6];
//只有一个数组
Arrays.fill(dp,1.0/6.0);
//从第2个骰子开始,这里n表示n个骰子,先从第二个的情况算起,然后再逐步求3个、4个···n个的情况
//i表示当总共i个骰子时的结果
for(int i=2;i<=n;i++){
//每次的点数之和范围会有点变化,点数之和的值最大是i*6,最小是i*1,i之前的结果值是不会出现的;
//比如i=3个骰子时,最小就是3了,不可能是2和1,所以点数之和的值的个数是6*i-(i-1),化简:5*i+1
//当有i个骰子时的点数之和的值数组先假定是temp
double[] temp = new double[5*i+1];
//从i-1个骰子的点数之和的值数组入手,计算i个骰子的点数之和数组的值
//先拿i-1个骰子的点数之和数组的第j个值,它所影响的是i个骰子时的temp[j+k]的值
for(int j=0;j<dp.length;j++){
//比如只有1个骰子时,dp[1]是代表当骰子点数之和为2时的概率,它会对当有2个骰子时的点数之和为3、4、5、6、7、8产生影响,因为当有一个骰子的值为2时,另一个骰子的值可以为1~6,产生的点数之和相应的就是3~8;比如dp[2]代表点数之和为3,它会对有2个骰子时的点数之和为4、5、6、7、8、9产生影响;所以k在这里就是对应着第i个骰子出现时可能出现六种情况,这里可能画一个K神那样的动态规划逆推的图就好理解很多
for(int k=0;k<6;k++){
//这里记得是加上dp数组值与1/6的乘积,1/6是第i个骰子投出某个值的概率
temp[j+k]+=dp[j]*(1.0/6.0);
}
}
//i个骰子的点数之和全都算出来后,要将temp数组移交给dp数组,dp数组就会代表i个骰子时的可能出现的点数之和的概率;用于计算i+1个骰子时的点数之和的概率
dp = temp;
}
return dp;
}
参考链接:https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof/solution/jian-zhi-offer-60-n-ge-tou-zi-de-dian-sh-z36d
END