切比雪夫多项式

1. 简介

切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号 T_n 表示，第二类切比雪夫多项式用 U_n 表示。切比雪夫多项式 T_n 或 U_n 代表 n 阶多项式。

棣莫弗定理 棣莫弗定理是一个关于复数和三角函数的公式，其内容为：对任意复数 x 和整数 n ，下列性质成立：

切比雪夫多项式分别是第一、第二类切比雪夫微分方程的解：

2. 定义

2.1 第一类切比雪夫多项式

此时母函数表示为：

2.2 第二类切比雪夫多项式

此时母函数表示为：

3. 性质

T_n和 U_n 都是区间 [-1,1] 上的正交多项式系。

第一类切比雪夫多项式 带权 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ，满足

第二类切比雪夫多项式 带权 \sqrt{1-x^2} ，满足

• 对每个非负整数 n ，T_{n}(x) 和 U_{n}(x) 都为 n 次多项式。并且当 n 为偶（奇）数时，它们是关于 x 的偶（奇）函数，在写成关于 x 的多项式时只有偶（奇）次项。
• n \geq 1时，T_{n} 的最高次项系数为 2^{n-1} ，n = 0 时系数为 1 。
• 两类切比雪夫多项式有如下关系：