多元统计分析：因子分析

简介

（Factor Analysis, FA）

例 9.1

水泥行业上市公司 经营业绩因子模型 实证分析

相关分析

在评价指标时，观测数据很多，指标间 不可避免地存在 多重共线性，因此先计算 相关系数矩阵

library(openxlsx)

d9.1 = read.xlsx('../Res/mvstats5.xlsx', 'd9.1', rowNames=T)
cor(d9.1)

利用 factanal() 基于极大似然法的因子分析

# factanal() 基于极大似然法的因子分析
# 该函数对数据分布要求极高，通常需假定数据来自多元正态分布
Fa1 = factanal(d9.1, 3, rotation = "none")
Fa1$loadings  # 因子载荷矩阵

基于 主成分估计 的因子分析函数 msa.fa()

# 自编因子分析函数 msa.fa()
source("../Res/msaR.R")

msa.fa(d9.1, m=6, rotation="none")$loadings

Fp1 = msa.fa(d9.1, m=3, rotation = "none")
Fp1$loadings

Fa1 # 极大似然法方差贡献

Fp1$vars  # 主因子法方差贡献

由主因子法结果，可看出，前三个因子的方差为 2.570, 1.713, 1.249，前3个因子所解释的方差占整个方差的 92.19%，基本能全面反映6项财务指标的信息，所以我们提取前3因子作为公因子

Fa1$uniquenesses  # 极大似然法 共同度

Fp1$common  # 主因子法 共同度

从上面结果，可看出，主因子法 计算共同度 比 极大似然法 好些

因子旋转

因子旋转方法： - 正交旋转（Orthogonal Rotation） - 斜交旋转（Oblique Rotation）

正交旋转法（varimax rotation）也称方差最大旋转法（spss中的varimax）。是使每个因子上具有最高载荷变量数最小，可简化对因子解释的旋转法。 在主成分分析中，用到正交旋转法，假设各因素相关。 假设提取出来的公共因素各不相关，是因素分析的最基本方法，与斜交旋转法相对应。

TODO: 这一段在百度百科上的解释 与 书上解释有冲突，书上解释 看起来就像是 说 正交旋转法有很多种，而 方差最大旋转 只是其中一种。

在因子旋转过程中，若因子对应轴 相互正交，则称为 正交旋转

最常用的正交旋转方法 是 最大方差正交旋转法（Varimax）

若因子对应轴 相互间 不是正交的，则称为斜交旋转。 常用的斜交旋转方法有 Promax 法等

极大似然法

Fa1 = factanal(d9.1, 3, rotation='none')
Fa1$loadings # 旋转前

Fa1$loadings[1:6,]  # 旋转前

Fa2 = factanal(d9.1, 3, rotation = 'varimax')
Fa2$loadings  # 旋转后

Fa2$loadings[1:6,]  # 旋转后

主因子法

Fp1 = msa.fa(d9.1, 3, rotation = 'none')
Fp1$vars  # 旋转前

Fp1$loadings # 旋转前

Fp2 = msa.fa(d9.1, 3, rotation='varimax')
Fp2$vars  # 旋转后

Fp2$loadings  # 旋转后

因子得分

在了解了 各个 综合因子 具体含义后，可采用 回归法、Bartlett法等估计方法计算样本的因子得分 下面是 采用 主因子法 使用 回归估计法 计算的因子得分

Fp1$scores # 旋转前因子得分

Fp2$scores  # 旋转后因子得分

因子得分信息图

便于绘图，取 前两个因子，x轴为 Factor1, y轴为 Factor2

plot(Fp2$scores, asp=1);abline(h=0, v=0, lty=3)
text(Fp2$scores, labels=rownames(d9.1))

biplot(Fp2$scores, Fp2$loadings)  # 因子得分信息重叠图
abline(h=0, v = 0, lty = 3)

9.5.3 综合得分及排名

Fp1$ranks

Fp2$ranks

可看出，两种方法结果有出入，这与采用的算法有关。 因为做 因子分析 通常需要做 因子旋转 以获得较好的 因子解释，所以 我们 认为 旋转后 结果做综合评价 要好些。

9.6 因子分析的步骤

9.6.1 因子分析 基本步骤

计算 简单 相关系数矩阵，若矩阵中 大部分数值过小（<0.3），则认为大部分变量呈 弱相关，不适合做 因子分析 若 某变量 和 其他变量 相关性较弱，则在接下来分析中 可考虑 剔除该变量

d3.1 = read.xlsx("../Res/mvstats5.xlsx", 'd3.1', rowNames = T)

cor(d3.1)

KMO 效验

KMO效验：用于比较 变量间 简单相关系数 和 偏相关系数 的指标 KMO 取值 [0, 1] KMO值 越接近 1，意味着变量间相关性越强，原有变量越适合做因子分析 KMO值 越接近 0，意味着变量间相关性越弱，原有变量不适合做因子分析 当所有变量间的 简单相关系数平方和 接近0时，KMO值接近0

msa.KMO(d3.1)

TODO：

Bartlett's 球体效验 目的：检验相关矩阵 是否 是单位矩阵 显然单位矩阵 变量间 不相关 若是单位矩阵，则认为 因子模型 不合适

检验的虚无假设为 相关矩阵是单位阵 若不能拒绝该假设，则表明数据不适合因子分析

一般，显著水平值 越小（<0.05），表明 原始变量间 越可能存在有意义的关系 若显著性水平很大（>0.10），可能表明 数据不适合因子分析

该统计量服从 卡方分布

msa.bartlett(d3.1)

9.6.2 因子分析过程

2. 因子评价

未旋转 F0

F0 = msa.fa(d3.1, 3, rotation='none')  # 未旋转F0
F0

旋转后 Fr

Fr = msa.fa(d3.1, 3, rotation="varimax")  # 旋转 Fr
Fr

信息重叠图分析

biplot(Fr$scores[,1:2], Fr$loadings[,1:2])

biplot(Fr$scores[,c(1,3)], Fr$loadings[,c(1,3)])

biplot(Fr$scores[,2:3], Fr$loadings[,2:3])

从双重信息图 可知， 各个变量 在广东、上海、北京、天津 这些地区的反映强烈， 说明这些地区在各个指标消费都较高， 广东人在交通和通信上花的钱明显多于其他地区，而北京在居住上花的钱较多。

案例

上市公司经营业绩评价的因子分析

library(openxlsx)

Case9 = read.xlsx("../Res/mvcase5.xlsx", "Case9", rowNames=T)
head(Case9)

(FA0 = factanal(Case9, 4, rotation="none"))  # 因子不旋转

前4个因子的方差贡献率 已占到累积方差贡献率的 84% ，所以只需前4个因子即可

pairs(FA0$loadings)

(FA1 = factanal(Case9, 4, rotation="varimax"))  # varimax法旋转 (varimax，即正交旋转：旋转前后，互不相关)

旋转后的因子载荷矩阵：Loadings: 可知，因子

在 每股收益

、每股净资产

、净资产收益率

、扣除后每股收益

上的载荷量较大， 反映 上市公司给与其股东的回报，在此因子上得分越高，公司能够给与股东的回报 也越高 因子

在存货周转率

、固定资产周转率

上有较大载荷量，所以是 反映公司资产管理能力的综合指标 因子

在总资产周转率

、主营业务利润率

上载荷量较大，主要体现了公司的短期偿债能力，是 债权人非常关心的项目 ... 第四个因子

是反映公司盈利能力的公共因子

竖着看，一个公共因子一列的看，看哪些在此因子中占比大，这些大的用来判断分析 这是什么样的因子

pairs(FA1$loadings)

source("../Res/msaR.r")

FA2 = msa.fa(Case9, 4);FA2

Q: Factor 列起着什么作用？为什么说 从因子排名表可看到，在 偿债能力方面，片仔癀 一枝独秀？看到排名1了，但并没有说明 偿债能力啊 A: TODO: Factor 列起着什么作用？为什么说 从因子排名表可看到，在 偿债能力方面，片仔癀 一枝独秀？

pairs(FA2$scores)

biplot(FA2$scores, FA2$loadings)  # 前2个因子信息重叠图

Q&A

补充

参考

感谢帮助！

• 《多元统计分析与R语言建模》王斌会
• 本文作者： yiyun
• 本文链接： https://moeci.com/posts/分类-数据分析/分类-杂记/factor-analysis/
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