【数据结构】多叉树的常见形式

多路查找树

二叉树与 B 树

二叉树的问题分析

image-20220225143821084

1. 二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多(比如 1 亿)， 就 存在如下问题:
2. 问题 1：在构建二叉树时，需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时， 速度有影响
3. 问题 2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度

多叉树

1. 在二叉树中，每个节点有数据项，最多有两个子节点。如果允许每个节点可以有更多的数据项和更多的子节点， 就是多叉树（multiway tree）
2. 后面我们讲解的 2-3 树，2-3-4 树就是多叉树，多叉树通过重新组织节点，减少树的高度，能对二叉树进行优化。

2-3树是一种多叉树

image-20220225143935919

B 树的基本介绍

B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 i/o 读写次数来提升效率。

image-20220225144003429

1. 如图 B 树通过重新组织节点， 降低了树的高度.
2. 文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为 4k)， 这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入
3. 将树的度 M 设置为 1024，在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛 应用于文件存储系统以及数据库系统中

2-3 树

2-3 树是最简单的 B 树结构, 具有如下特点:

1. 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
2. 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
3. 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点.
4. 2-3 树是由二节点和三节点构成的树。

2-3 树应用案例

将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树，并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3 树的过程.)

image-20220225144118394

插入规则:

1. 2-3 树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
2. 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
3. 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
4. 当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层， 拆后仍然需要满足上面 3 个条件。
5. 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST 二叉排序树)的规则

除了 23 树，还有 234 树等，概念和 23 树类似，也是一种 B 树。

image-20220225144219712

B 树、B+树和 B*树

B-tree 树即 B 树，B 即 Balanced，平衡的意思。有人把 B-tree 翻译成 B-树，容易让人产生误解。会以为 B-树 是一种树，而 B 树又是另一种树。实际上，B-tree 就是指的 B 树。

前面已经介绍了 2-3 树和 2-3-4 树，他们就是 B 树(英语：B-tree 也写成 B-树)，这里我们再做一个说明，我们在学 习 Mysql 时，经常听到说某种类型的索引是基于 B 树或者 B+树的，如图:

image-20220225144254234

对上图的说明:

1. B 树的阶：节点的最多子节点个数。比如 2-3 树的阶是 3，2-3-4 树的阶是 4
2. B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询 关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
3. 关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据
4. 搜索有可能在非叶子结点结束
5. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

B+树的介绍

B+树是 B 树的变体，也是一种多路搜索树。

image-20220225144447264

对上图的说明:

1. B+树的搜索与 B 树也基本相同，区别是 B+树只有达到叶子结点才命中（B 树可以在非叶子结点命中），其性 能也等价于在关键字全集做一次二分查找
2. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】），且链表中的关键字(数据) 恰好是有序的。
3. 不可能在非叶子结点命中
4. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
5. 更适合文件索引系统
6. B 树和 B+树各有自己的应用场景，不能说 B+树完全比 B 树好，反之亦然

B*树的介绍

B*树是 B+树的变体，在 B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。

image-20220225144651613

B*树的说明:

1. B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为 2/3，而 B+树的块的最低使用率为的 1/2。
2. 从第 1 个特点我们可以看出，B*树分配新结点的概率比 B+树要低，空间使用率更高

Trie树

又称为: 前缀树,字典树

取名来自 retrieval

什么是Trie树!??

比如我们一串字符串需要检查拼写错误

数据: code cook Five File Fat

根据匹配这串字符生成的字典树

image-20220226183708639

特点:

1. 根节点不包括字符,除去根节点外 每个节点只包含一个字符
2. 从根节点到叶子节点,路径上经过的字符,对应的字符串
3. 每个节点的子节点包含不同的字符(相同字符在下一层节点分裂)

此时演示特点三的情况

image-20220226184153578

插入规则:

1. 先查看节点是否存在,存在i向下遍历,不存咋创建新的节点

查找规则:

1. 从根节点开始遍历,如查找goodbye Good 找到前缀字符,但是此时字典树遍历完成,而单词并没有完成,结果任然不存在

删除规则

1. 先要遍历出当前字符串路径,从叶子节点向上删除,除去叶子节点外的节点,如果有其他节点,此节点保留,删除子树

并查集

从一个逻辑题来给大家介绍并查集

现在有十个强盗 一号强盗与二号强盗是同伙 三号强盗与四号强盗是同伙 五号强盗与二号强盗是同伙 四号强盗与六号强盗是同伙 二号强盗与六号强盗是同伙 八号强盗与七号强盗是同伙 九号强盗与七号强盗是同伙 一号强盗与六号强盗是同伙 二号强盗与四号强盗是同伙

有一点需要注意 强盗同伙的同伙也是同伙,你能找出来有多少独立的犯罪团伙吗?

根据题目分析出逻辑上三个情况 part1 1 2 5 3 4 6 part 2 7 8 9 part 10

数组理解

这里数组下标按照从1开始理解;

一号和二号一组

三号和四号

五号和二号

四号和六号

二号和六号

八号和七号

九号和七号

以上是我们用数组变化的方式来理解的并查集逻辑题目,接下来是树的理解

树结构理解

image-20220226202529309

并查集

其实就是 合并和查询的集合

合并:把两个不相交的集合合并为一个集合

查询,查询两个元素是否在同一个集合中

用一个元素代表集合,成为集合首领,判断是否在集合中,让元素存储首领来判断,合并需选出新的首领,将被合并的集合元素首领改成新的首领

另一种角度上说,并查集是将一个集合以树结构进行组合的数据结构.