数学杂谈：高维空间向量夹角小记

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发布于 2022-04-13 17:07:23

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发布于 2022-04-13 17:07:23

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数学杂谈：高维空间向量夹角小记

给出具体的python实现如下：

import numpy as np

def dummy():
    theta = np.arccos(np.random.uniform(-1, 1))
    phi = np.random.uniform() * 2 * np.pi

    x = np.sin(theta) * np.sin(phi)
    y = np.sin(theta) * np.cos(phi)
    z = np.cos(theta)

    return (x, y, z)

2. n维坐标系中的均匀向量

现在，我们来考察n维空间中的情况。

我们仿照3维空间的情况，只要先给出体积元的极坐标表达式，然后考察其中空间角的表达式即可。

给出n维空间下的极坐标转换如下：

\left\{ \begin{aligned} & x_1 = r \cdot cos\theta_1 \\ & x_2 = r \cdot sin\theta_1 \cdot cos\theta_2 \\ & x_3 = r \cdot sin\theta_1 \cdot sin\theta_2 \cdot cos\theta_3 \\ & ... \\ & x_{n-1} = r \cdot sin\theta_1 \cdot sin\theta_2 \cdot ... \cdot sin\theta_{n-2} \cdot cos\theta_{n-1} \\ & x_n = r \cdot sin\theta_1 \cdot sin\theta_2 \cdot ... \cdot sin\theta_{n-2} \cdot sin\theta_{n-1} \end{aligned} \right.

可以得到n维空间上的体积元：

\begin{aligned} dx_1dx_2...dx_n & = \frac{\partial(x_1, x_2, ..., x_n)}{\partial(r, \theta_1, \theta_2, ..., \theta_{n-1}))} \cdot drd\theta_1d\theta_2...d\theta_{n-1} \\ \\ & = det \begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial r} & \frac{\partial x_1}{\partial \theta_1} & ... & \frac{\partial x_1}{\partial \theta_{n-1}} \\ \frac{\partial x_2}{\partial r} & \frac{\partial x_2}{\partial \theta_1} & ... & \frac{\partial x_2}{\partial \theta_{n-1}} \\ ... \\ \frac{\partial x_n}{\partial r} & \frac{\partial x_n}{\partial \theta_1} & ... & \frac{\partial x_n}{\partial \theta_{n-1}} \end{vmatrix} \cdot drd\theta_1d\theta_2...d\theta_{n-1} \\ \\ & = r^{n-1}sin^{n-2}\theta_1sin^{n-3}\theta_2...sin^2\theta_{n-3}sin\theta_{n-2} \cdot drd\theta_1d\theta_2...d\theta_{n-1} \end{aligned}

\begin{aligned} \rho & = \Pi_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x_i^2}{2}} \\ & = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^n \cdot e^{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 / 2} \\ & = (\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^n \cdot e^{r^2 / 2} \\ \end{aligned}

可以看到，这个空间体积元上的概率密度只与径向距离r有关，而与空间角无关，因此，上述方式构造的n维向量在n维空间角上是呈现均匀分布的。

而我们将其进行归一化处理，即可得到n维空间当中均匀分布的单位向量。

我们在二维和三维空间当中验证上述方法的有效性如下：

3. n维空间中两向量夹角考察

综上，我们即可对n维空间上的单位向量进行随机生成。

那么，我们就可以通过蒙特卡洛生成的方式来考察两个随机向量之间的夹角与维度n之间的变化关系。

我们给出结果图如下：

4. 总结 & 思考

综上，苏剑林在他的博客当中提到的这个结论就得到了证明，确实是一个非常有意思的结论。

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原始发表：2022/02/06 ，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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