概率分布：掌握事态谋定千里外

世界充满不确定性，每一个人都不断的在搜寻各种信息来消弱不确定性，提高自己判断选择的胜算，不确定性推衍出多种事态的发展：比如明天的天气，可能晴空万里，可能乌云密布，可能晴转多云。

1，为什么要在多种事态中做判断呢？

因为对事态的判断，是一种思想的认知选择，指导我们下一步的具体行动，最重要的是这种认知选择是有价值的，认知的选择的价值和判断的准确性、事态的重要性成正相关。

比如：天气的认知判断：明天绝对下雨，指导你出门前带一把雨伞，来应对下雨这种事态的出现，避免下雨耽误自己的大事。如果你判断错了呢？意味着超出认知判断的事态发生来，就会引发一连串的（难以预料）事态变化。

正如一个有名的故事：“因为失去一个马蹄铁，继而失去一匹马，失去一个骑士，失去一场战场，毁灭了一个帝国”。人都惧怕不确定性中的不同事态。

2，怎样把握事态，消弱不确定性？

把握事态的方法只有一个就是了解事态的迹象，可以简单为数据中的信息，万事万物是紧密相连的，就拿天气的事态变化，可以提前从天气的迹象做一个简单的判断。

在长期的生产实践中，总结出了许多自然现象与天气变化的规律，并编成了顺口易记的谚语。这些谚语可以帮助我们粗略预测天气的变化。

瓦块云，晒煞人。 馒头云，天气晴。 天上鲤鱼翻，晒谷不用摊。 早霞不出门，晚霞行千里。 鱼鳞天，不雨也风癫。 日晕三更雨，月晕午时风。

一句话：“掌握事态特征所牵连/包含的信息”。

3，怎么确定一个事态发生的可能性呢？

两个字：“概率”，一种取 [0, 1]的可能性程度的度量。概率只是一种事态发生的几率，不代表实际事态真正发生与否。随机变量就是表示不确定的事态。随机变量有离散型和连续型两种。问题来了，对一件事的不同事态（多个随机变量），怎么描述呢？

需要记住两个概念：“期望”，“方差”，构成了概率分布的主要概念就这两个。“期望”可以理解为一件事的引力基准线，牵引着不同的事态的发展，“方差”可以理解为事态的脱准力，方差越大事态就更难把握，也更难预测。期望是统计工作者期望的，方差是统计工作者失落的。

一个事件的期望来自于事态大小乘以概率的合计：

方差多种事态于期望基准距离的平方X概率的合计：

事态出现的概率分布，就是事态点在 期望基准和方差脱准力构成的二维平面的分布图。

4，主题：事态（随机变量）主要的概率分布。

概率分布的目的：反向推演出某一个事态（随机变量）发生的概率，为决策提供依据，掌控事态变化的关键。

4.1, 二项式分布：有限确定的随机变量（彼此独立），且随机变量的发生概率已知。在n次事件实验中，某个随机变量，出现的 x 次数的概率的分布。二项式分布（二维坐标轴，粗俗的理解）的期望和方差分别为：

R模拟：(概率越大，n次实验中随机变量出现的次数多)

> k=seq(0.1,0.9,0.1)> par(mfrow=c(3,3),mai=c(0.6,0.5,0.2,0.1))> for(i in 1:9)+ barplot(dbinom(0:5,5,k[i]),xlab="x",ylab="p",ylim=c(0,0.6),main=substitute(B(5,b),list(b=k[i])),col="lightblue")

实验图

4.2，正态分布很重要（因为用的地方很多）

扩展：可以了解到正态分布分布的前世今生：高斯与正态分布

不说废话，这是统计学家们，苦心推演出来的万能概率分布，是创世纪的数理统计发现。

神说，要有正态分布，就有了正态分布。

神看正态分布是好的，就让随机误差就服从了正态分布。

正态分布随机变量的概率密度公式：(不明觉厉的公式，记住就好)

R模拟：

> par(mai=c(0.75,0.75,0.1,0.1),cex=0.9)
> curve(dnorm(x,-2,1),from=-6,to=2,xlim=c(-6,6),ylab="f(x)",lty=1,lwd=1.5,col='blue')
> abline(h=0)
> segments(-2,0,-2, dnorm(-2,-2,1),lwd=1.5,col="black")

> curve(dnorm(x,2,1),from=-2,to=6,add=T,lty=2,lwd=1.5,col='green')
> segments(2,0,2, dnorm(2,2,1),lty=2,lwd=1.5,col="black")
> legend(x="topright",legend=c("N(-2,1)","N(2,1)"),lty=1:2,col=c("blue","green"),cex=0.8)

#计算正态分布的概率
> pnorm(40,mean=50,sd=10)
[1] 0.1586553
#计算正态分布的分位数
> qnorm(0.025,mean=0,sd=1)
[1] -1.959964
> 

4.3， 正态分布推演的卡方分布

卡方分布：n 个标准正态分布随机变量的平方和的分布成为具有n个自由的卡方分布。分布形状取决于自由度n的大小，通常为不对称的右偏分布，自由度增大逐渐趋于对称。

R模拟：

> par(mfrow=c(2,3),mai=c(0.6,0.6,0.2,0.1))
> n=5000
> df<-c(2,5,10,15,20,30)
> for(i in 1:6){
+ x<-rchisq(n,df[i])
+ hist(x,xlim=c(0,60),prod=T,col='lightblue',xlab="x",ylab="Density",main=paste("df=",df[i]))
+ curve(dchisq(x,df[i]),lwd=1.5,col=2,add=T)
+ }
#pchisq(10,df=15)
#qchisq(0.95,df=10)

4.4，t分布正态与卡方的结合

t分布，用t表示样本均值经过标准化后的新随机变量，因此成为t分布，也成学生分布。设随机变量Z服从标准正太分布，X服从n个自由度的卡方分布，且Z与X独立，则：

服从自由度为n的t分布。t 分布类似于正态分布，比正态分布平坦而分散，随着自由度增大逐渐趋于正态分布。

R模拟：

> 
> curve(dnorm(x,0,1), from=-3,to=3,xlim=c(-4,4),ylab="f(x)",lty=1,col=1)
There were 24 warnings (use warnings() to see them)
> abline(h=0)
> segments(0,0,0,dnorm(0),col="blue", lty=2,lwd=1.5)
> curve(dt(x,5) ,from=-4,to=4, add=T,lty=2,col=2,lwd=1.5)
> curve(dt(x,2) ,from=-4,to=4, add=T,lty=3,col=4,lwd=1.5)
> legend(x="topright",legend=c("N(0,1)","t(5)","t(2)"),lty=1:3,col=c(1,2,4))

4.5，F分布是纪念著名统计学家R. A. Fisher 以其姓氏的第一个字母而命名的，它是两个卡方分布变量的比。设U服从自由度为n1的卡方分布，V服从自由度为n2的卡方分布，且U和V独立。则：

服从自由度为n1 和n2的F分布。

R模拟：

> curve(df(x,10,20) ,from=0,to=5,xlim=c(0,5),ylab="f(x)",lty=1,col=1,lwd=1.5)
> curve(df(x,10,20) ,from=0,to=5,add=T,lty=2,col=2,lwd=1.5)
> curve(df(x,5,10) ,from=0,to=5,add=T,lty=2,col=2,lwd=1.5)
> curve(df(x,3,5) ,from=0,to=5,add=T,lty=3,col=4,lwd=1.5)
> 
> legend(x="topright",legend=c("F(10,20)","F(5,10)","F(3,5)"),lty=1:3,col=c(1,2,4))

#pf(3,df1=10,df2=8)
#qf(0.95,df1=25,df2=20)

5，总结一下：卡方分布，t分布，F分布都属于正态分布的推演，当自由度增大，它们都渐进趋于正态分布。学好这几种分布，从样本分布，推演一个随机变量的概率就很简单了，祝你在滚动的潮流中，获取掌握事态变化的方法，辅助自己决胜千里之外，成就精彩人生。