OpenCV Sobel算子水平和垂直方向导数问题

sobel算子是一种常用的边缘检测算法，在各种论文或书籍中，我们常常能看到类似这样的话，被检测的对象存在大量的竖直边，所以可以采用sobel算子来找到第一个水平导数，它可以用来在图像中查找竖直边缘。 它在opencv中的原型如下：

CV_EXPORTS_W void Sobel( InputArray src, 
                         OutputArray dst, 
                         int ddepth,
                         int dx, 
                         int dy，
                         int ksize=3,
                         double scale=1, 
                         double delta=0,
                         int borderType=BORDER_DEFAULT );

第一个参数，输入图像，Mat类型。 第二个参数，目标图像，Mat类型。 第三个参数，目标图像的颜色深度。 第四个参数，int类型dx，表示对x对导数的阶数。 第五个参数，int类型dy，表示对x对导数的阶数。 第六个参数，int类型ksize，表示Sobel核的大小，默认值3。 第七个参数，double类型的scale，计算导数值时可选的缩放因子，默认值是1。 第八个参数，double类型的delta，表示在结果存入目标图（第二个参数dst）之前可选的delta值，默认值0。 第九个参数， int类型的borderType，边界模式，默认值为BORDER_DEFAULT。

在这里主要解释第四个和第五个参数，为什么对x求1阶导数用来检测竖直边缘，同样的对y求1阶导数用来检测水平边缘。 根据sobel算子的数学推导： 当内核为33时，横向和纵向方向上的卷积因子分别为：

这里写图片描述

假设原图像为A，分别做卷积可以得到：

这里写图片描述

具体运算为： Gx = (-1)f(x-1, y-1) + 0f(x,y-1) + 1f(x+1,y-1)

+(-2)f(x-1,y) + 0f(x,y)+2*f(x+1,y)

+(-1)f(x-1,y+1) + 0f(x,y+1) + 1*f(x+1,y+1)

= [f(x+1,y-1)+2f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2f(x-1,y)+f(x-1,y+1)]

Gy =1* f(x-1, y-1) + 2f(x,y-1)+ 1f(x+1,y-1)

+0f(x-1,y) 0f(x,y) + 0*f(x+1,y)

+(-1)*f(x-1,y+1) + (-2)*f(x,y+1) + (-1)*f(x+1, y+1)

= [f(x-1,y-1) + 2f(x,y-1) + f(x+1,y-1)]-[f(x-1, y+1) + 2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)] 由上述公式计算得到Gy和Gx后，可以计算得到G的值，一个点的G的代表该点的梯度，如果大于某一设定范围则认为该点是边缘点。

这里写图片描述

为了提高效率 使用不开平方的近似值：

这里写图片描述

因为opencv对图像坐标的定义为原点在左上角角位置，如何一个像素点的坐标为（x，y），那么（x+1，y+1）在该点的左下角，以此类推可以知道其余8个坐标的位置。

Gx及Gy分别代表经横向及纵向边缘检测的图像灰度值，如果为一幅图像有竖直边缘，该竖直边缘的水平两侧灰度将存在差异，同理如果存在水平边缘，该边缘的垂直两侧灰度将存在差异，soble算子利用这种差异实现竖直边缘和水平边缘的检测。 在这里面验算过程太麻烦，贴个照片吧： 假设A是一个3*3的二值图像，计算A中心处那个点是否为边缘点，

这里写图片描述

显然计算结果为Gx = 4，Gy = 0，也就是说该点在水平方向上两侧是存在差异的，在垂直方向上不存在差异，所以是一个竖直边缘。

最后我们返回opencv代码去验证一下检测效果，首先对输入图片进行高斯滤波，分别进行sobel水平和垂直检测，为了方便观看检测效果，选用otsu算法对边缘检测后的结果进行阈值分割。代码如下：

Mat img_gray = imread("building.png",CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);  
Mat input = imread("building.png");  
imshow("原图",input);
blur(img_gray,img_gray,Size(5,5));  
imshow("滤波",img_gray);
vertical lines  
Mat img_sobel;  
Sobel(img_gray, img_sobel, CV_8U, 1, 0, 3, 1, 0, BORDER_DEFAULT);
imshow("检测垂直",img_sobel);
Mat img_sobel2; 
Sobel(img_gray, img_sobel2, CV_8U, 0, 1, 3, 1, 0, BORDER_DEFAULT);
imshow("检测水平",img_sobel2);
Mat img_threshold;  
threshold(img_sobel, img_threshold, 0, 255, CV_THRESH_OTSU+CV_THRESH_BINARY);  
imshow("检测垂直阈值分割",img_threshold);
Mat img_threshold2;  
threshold(img_sobel2, img_threshold2, 0, 255, CV_THRESH_OTSU+CV_THRESH_BINARY);  
imshow("检测水平阈值分割",img_threshold2);

我们选用一张棱角分明的建筑图片：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-2waIX4TE-1586405516462)(https://img-blog.csdn.net/20170112102639957?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvY2hhaXBwMDYwNw==/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/SouthEast)]

进行灰度和滤波处理：

这里写图片描述

检测水平边缘并阈值分割：

这里写图片描述

这里写图片描述

检测竖直边缘并阈值分割：

这里写图片描述

这里写图片描述

soble算子对垂直和水平方向上的排列表达的较好，但对于其他角度的表达往往不够准确。