【语音处理】时域信号分析基本工具，什么是窗函数

上一节主要介绍了关于语音听觉的相关内容，从本节开始，我们将展开一系列关于语音时域信号分析、频域信号、线性预测分析、倒谱特征等相关内容。

本节的主要介绍语音信号处理中的加窗函数，包括常用的矩形窗、汉明窗等内容。

作者&编辑 | 小米粥

编辑 | 言有三

1. 语音听觉系统

语音信号在10-30ms的范围内具有短时平稳性，因而在处理前需要经过分帧操作，即把一个语音信号切分成多个帧片段。为了使帧与帧之间平滑过渡，具有连贯性，通常要采用交叠分段的方法，即相邻帧之间存在重叠部分，该交叠部分的长度定义为帧移，而每一帧语音信号的长度定义为帧长。此外，一般帧移为帧长的0到0.5倍。

当对语音信号进行截断分帧后，将产生能量泄露现象。截断函数是频带无限的函数，而语音信号是有限带宽信号，因而截断后语音信号的在频率中能量将被扩展。根据采样定理，只有采样频率超过信号最高频率的2倍，才可能恢复信号，因而无论采样频率多高，只要经过截断处理，则将引起混叠。此时，通过使用加权函数，即窗函数，使能量集中在主瓣，则可以获得更接近真实频谱的信号，减少能量泄露。

1. 矩形窗、汉明窗和汉宁窗

对于语音信号 s(t)，设长度有限、可移动的窗函数为 w(t)，则加窗语音信号为s(t)·w(t)。

矩形窗的是最直观、简单的窗函数，我们以其为例进行说明。矩形窗的表达式为：

其中， N为窗口宽度。例如，对于采样频率为16kHz的语音信号，若帧长设置为25ms，则N为400.

汉明（hamming）窗（又称为余弦升窗）的表达式为：

此外，汉宁窗与汉明窗的表达式为非常近似，只是将抵消期限和缩放项均修改为0.5。汉明窗可以使得窗函数值最低也不为0，而汉宁窗无法保证。

汉宁窗的表达式为：

汉明窗和汉明窗函数的图像如下所示：

接下来，我们对窗函数的频谱特性进行说明。窗函数频率响应具有低通性，矩形窗对应的数字滤波器的单位冲击响应频谱 HR(w)为（即计算离散傅里叶变换）：

其中偶函数 AR(w)的函数图像 （N=51）如下所示

函数AR(w)所对应的第一个置零点归一化频率为 1/N，对应的非归一化规律为w=2π/N，因而主瓣宽度为4π/N；旁瓣最高值所对应的频率为w=3π/N，对应的旁瓣峰值为-13dB，计算方式如下。

其函数图像（N=51如下所示）

可以看出，汉宁窗相当于三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，使其能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍。

2. 窗函数性能对比

（1）矩形窗。矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。频率识别精度最高，幅值识别精度最低，所以矩形窗不是一个理想的窗。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗。

（2）汉宁窗。主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。它与矩形窗相比，泄漏、波动都减小了,并且选择性也提高。如果信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小，需要选择汉宁窗。

（3）汉明窗。与汉宁窗都是余弦窗，又称改进的升余弦窗，只是加权系数不同，使旁瓣达到更小。但其旁瓣衰减速度比汉宁窗衰减速度慢。其功能和应用与汉宁窗类似。在语音信号处理中，汉明窗应用最为广泛。

（4）平顶窗。平顶窗在频域时的表现就象它的名称一样有非常小的通带波动。由于在幅度上有较小的误差，所以这个窗可以用在校准上。

（5）凯塞窗。定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel 函数构成的窗函数，通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。

。定义了一组可调的由零阶贝塞尔函数构成的窗函数，通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。

（6）布莱克曼窗。二阶升余弦窗，主瓣宽，旁瓣比较低，但等效噪声带宽比汉宁窗要大一点，波动却小一点。频率识别精度最低，但幅值识别精度最高，有更好的选择性。常用来检测两个频率相近幅度不同的信号。

（7）高斯窗。是一种指数窗。主瓣较宽，故而频率分辨力低；无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。

高斯窗是一种指数窗。主瓣较宽，故而频率分辨力低；无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。

（8）三角窗。是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。

（9）切比雪夫窗。在给定旁瓣高度下，Chebyshev窗的主瓣宽度最小，具有等波动性，也就是说，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

对于语音信号处理中最常见的矩阵窗和汉明窗，矩形窗的平滑性更好但损失了高频信息，能量泄露相对严重；汉明窗相对应用更加广泛。

3. 窗函数长度选择

窗口长度N对能否反应语音信号变化幅度起决定性作用。

如果窗口长度N比较大（量级达到多个基音周期的水平），则窗函数等效于带宽很窄的低通滤波器，高频成分损失较多，短时能量随时间变化较小，无法反应波形细节；

若窗口长度N比较小，则滤波器的通带变宽，短时能量随时间变化较大，无法获得平滑的短时信息。

[1] 韩纪庆, 张磊, 郑铁然. 语音信号处理.第2版[M]. 清华大学出版社, 2013.

[2] 赵力. 语音信号处理: 机械工业出版社[M]. 机械工业出版社, 2016.

[3] 卢官明, 宗昉. 数字音频原理及应用[M]. 机械工业出版社, 2012.

总结

本节的主要介绍语音信号处理中的窗函数，包括窗函数的定义由来，经典的矩形窗、汉明窗、汉宁窗，并对常见的窗函数进行总结，最后简要说明了窗函数长度的影响。

下一节，我们将介绍语音信号的时域信号分析相关内容。